Exercice 11

1. On factorise les deux expressions. Pour $a$ : $$a=n^{3}-n^{2}-12n=n\left(n^{2}-n-12\right)=n(n-4)(n+3)$$ car $n^{2}-n-12$ a pour racines $4$ et $-3$. Pour $b$ : $$b=2n^{2}-7n-4=(n-4)(2n+1)$$ ce que l'on vérifie en développant : $(n-4)(2n+1)=2n^{2}+n-8n-4=2n^{2}-7n-4$. $$\boxed{a=n(n-4)(n+3) \qquad ; \qquad b=(n-4)(2n+1)}$$ Comme $n>5$, les trois facteurs $n$, $n-4$ et $n+3$ sont des entiers strictement positifs, de même que $2n+1$ : $$\boxed{a \text{ et } b \text{ sont des entiers naturels divisibles par } n-4}$$

2. (a) $d$ divise $\alpha=2n+1$ et $\beta=n+3$, donc toute combinaison linéaire : $$2\beta-\alpha=2(n+3)-(2n+1)=2n+6-2n-1=5$$

(b) Traitons la double implication. D'une part : $$\beta\equiv 0\;[5] \iff n+3\equiv 0\;[5] \iff n\equiv -3\equiv 2\;[5] \iff n-2\equiv 0\;[5]$$ D'autre part, si $n\equiv 2\;[5]$, alors : $$\alpha=2n+1\equiv 2\times 2+1=5\equiv 0\;[5]$$ Réciproquement, si $\alpha\equiv 0\;[5]$, alors $2n\equiv -1\equiv 4\;[5]$, donc $n\equiv 2\;[5]$ en multipliant par $3$, inverse de $2$ modulo $5$. $$\boxed{\alpha \text{ et } \beta \text{ sont multiples de } 5 \iff n-2\equiv 0\;[5]}$$

3. $$1\times(2n+1)-2\times n=1$$ D'après le théorème de Bézout : $$\boxed{2n+1 \text{ et } n \text{ sont premiers entre eux}}$$

4. (a) Les deux nombres s'écrivent $a=(n-4)\times n(n+3)$ et $b=(n-4)\times(2n+1)$, donc : $$\mathrm{PGCD}(a,b)=(n-4)\times\mathrm{PGCD}\big(n(n+3)\,,\,2n+1\big)$$ Soit $\delta$ un diviseur commun positif de $n(n+3)$ et $2n+1$. Un diviseur commun de $\delta$ et de $n$ divise $2n+1$ et $n$, donc $1$ d'après la question 3 : $\delta$ est premier avec $n$. Comme $\delta$ divise $n(n+3)$, le théorème de Gauss donne $\delta\mid n+3$. Réciproquement, un diviseur commun de $n+3$ et $2n+1$ divise $n(n+3)$. Les deux couples ont donc les mêmes diviseurs communs : $$\mathrm{PGCD}\big(n(n+3)\,,\,2n+1\big)=\mathrm{PGCD}(n+3\,,\,2n+1)=d$$ D'après les questions 2a et 2b, $d$ vaut $5$ lorsque $n\equiv 2\;[5]$, et $1$ sinon. $$\boxed{\mathrm{PGCD}(a,b)=\left\{\begin{array}{ll} 5(n-4) & \text{si } n\equiv 2\;[5] \\[1mm] n-4 & \text{sinon} \end{array}\right.}$$

(b) Pour $n=11$ : on a $11=5\times 2+1$, donc $n\not\equiv 2\;[5]$ et le PGCD vaut $n-4=7$. On vérifie : $$a=11\times 7\times 14=1078 \qquad ; \qquad b=7\times 23=161$$ et $\mathrm{PGCD}(1078,161)=7$. $\boxed{\text{Cohérent}}$

Pour $n=12$ : on a $12=5\times 2+2$, donc $n\equiv 2\;[5]$ et le PGCD vaut $5(n-4)=40$. On vérifie : $$a=12\times 8\times 15=1440 \qquad ; \qquad b=8\times 25=200$$ et $\mathrm{PGCD}(1440,200)=40$. $\boxed{\text{Cohérent}}$