Exercice 21 Points entiers d'une droite

1. $7\times 1-4\times 1=3$ : $\boxed{A\in\mathcal{D}}$

2. On cherche les couples d'entiers $(x\,;y)$ tels que $7x-4y=3$. En soustrayant $7\times 1-4\times 1=3$ : $$7(x-1)=4(y-1)$$ $4$ divise $7(x-1)$ et $\mathrm{PGCD}(4,7)=1$, donc d'après le théorème de Gauss, $x-1=4k$ avec $k\in\mathbb{Z}$, puis $7\times 4k=4(y-1)$, d'où $y=1+7k$. La réciproque se vérifie : $7(1+4k)-4(1+7k)=7-4=3$. $$\boxed{\text{Les points entiers de } \mathcal{D} \text{ sont les } M_{k}(1+4k\,;1+7k), \ k\in\mathbb{Z}}$$

3. $0\leqslant 1+4k\leqslant 20$ donne $-\frac{1}{4}\leqslant k\leqslant\frac{19}{4}$, soit $k\in\{0\,;1\,;2\,;3\,;4\}$, et alors $y=1+7k\geqslant 0$ : $$\boxed{(1\,;1),\ (5\,;8),\ (9\,;15),\ (13\,;22),\ (17\,;29)}$$

La droite bleu ardoise traverse le quadrillage, mais ne passe exactement par un nœud, c'est-à-dire par un point à coordonnées entières, qu'aux points violets. On passe de l'un au suivant en avançant de $4$ et en montant de $7$, comme le montrent les flèches ocre.

4. Deux points entiers consécutifs $M_{k}$ et $M_{k+1}$ sont séparés par le vecteur $\overrightarrow{M_{k}M_{k+1}}\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$, qui ne dépend pas de $k$ : ces points sont régulièrement espacés, à la distance $\sqrt{16+49}=\sqrt{65}$ les uns des autres. Le vecteur $\begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$, à coordonnées entières et premières entre elles : il est le plus petit possible.