Exercice 22

1. C'est la question c) de l'exercice 10, valable ici pour tout entier relatif $n$ : $$5\times(14n+3)-14\times(5n+1)=70n+15-70n-14=1$$ D'après le théorème de Bézout : $\boxed{\forall n\in\mathbb{Z}, \; \mathrm{PGCD}(14n+3\,,\,5n+1)=1}$

2. (a) Il suffit de choisir $n$ tel que $14n+3=87$, c'est-à-dire $14n=84$ et $n=6$. On vérifie alors que $5\times 6+1=31$. $$\boxed{87 \text{ et } 31 \text{ sont premiers entre eux, d'après la question 1 avec } n=6}$$

(b) La relation de la question 1, écrite pour $n=6$, fournit directement le couple de Bézout : $$5\times 87-14\times 31=435-434=1 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{(u\,;v)=(5\,;-14)}$$ On retrouve le couple déjà obtenu par la remontée de l'algorithme d'Euclide, à l'exercice 12 : la question 1 fournit ici le résultat sans aucun calcul.

En multipliant cette égalité par $2$ : $$87\times 10+31\times(-28)=2 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{(x_{0}\,;y_{0})=(10\,;-28)}$$

(c) Soit $(x\,;y)$ une solution de $(E)$. En soustrayant terme à terme : $$87(x-10)+31(y+28)=0 \qquad \text{soit} \qquad 87(x-10)=-31(y+28)$$ Comme $31$ divise $87(x-10)$ et que $\mathrm{PGCD}(87,31)=1$, le théorème de Gauss donne $31\mid(x-10)$ : il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $x=31k+10$. En reportant, $87\times 31k=-31(y+28)$, d'où $y=-87k-28$. $$\boxed{S=\left\{(31k+10\,;-87k-28) \; ; \; k\in\mathbb{Z}\right\}}$$ Vérification : $87(31k+10)+31(-87k-28)=2697k+870-2697k-868=2$.

3. L'équation de la droite s'écrit $87x-31y=2$. Attention : le signe a changé, il ne s'agit plus de $(E)$. On repart du couple de Bézout $87\times 5-31\times 14=1$, que l'on multiplie par $2$ : $$87\times 10-31\times 28=2 \qquad \text{d'où la solution particulière } (10\,;28)$$ Soit $(x\,;y)$ une solution. En soustrayant terme à terme : $$87(x-10)=31(y-28)$$ Le théorème de Gauss donne $31\mid(x-10)$, donc $x=31k+10$ et $y=87k+28$.

On cherche maintenant les points à coordonnées entières naturelles avec $0\leqslant x\leqslant 10$. Comme $x=31k+10$ : $$0\leqslant 31k+10\leqslant 10 \iff -10\leqslant 31k\leqslant 0 \iff k=0$$ et alors $y=28\geqslant 0$. $$\boxed{\text{Le seul point convenable est } (10\,;28)}$$ Vérification : $87\times 10-31\times 28-2=870-868-2=0$.