Exercice 23

1. (a) $\mathrm{PGCD}(8,5)=1$ divise $1$ : l'équation admet des solutions. On en cherche une évidente : $$8\times 2+5\times(-3)=16-15=1 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{(x_{0}\,;y_{0})=(2\,;-3)}$$

(b) Soit $(x\,;y)$ une solution. En soustrayant terme à terme : $$8(x-2)+5(y+3)=0 \qquad \text{soit} \qquad 8(x-2)=-5(y+3)$$ Comme $5$ divise $8(x-2)$ et que $\mathrm{PGCD}(5,8)=1$, le théorème de Gauss donne $5\mid(x-2)$ : il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $x=5k+2$. En reportant, $8\times 5k=-5(y+3)$, d'où $y=-8k-3$. $$\boxed{S=\left\{(5k+2\,;-8k-3) \; ; \; k\in\mathbb{Z}\right\}}$$ Vérification : $8(5k+2)+5(-8k-3)=40k+16-40k-15=1$.

2. (a) Les deux écritures de $n$ donnent $8a+1=5b+2$, c'est-à-dire : $$8a-5b=1 \qquad \text{soit} \qquad 8a+5\times(-b)=1$$

(b) D'après la question 1b, il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que : $$a=5k+2 \qquad \text{et} \qquad -b=-8k-3, \text{ soit } b=8k+3$$ On en déduit : $$n=8a+1=8(5k+2)+1=40k+17$$ Comme $0\leqslant 17<40$ : $$\boxed{\text{Le reste de la division euclidienne de } n \text{ par } 40 \text{ est } 17}$$ Vérification avec $k=0$ : $n=17$, et l'on a bien $17=8\times 2+1=5\times 3+2$.

3. (a) $\mathrm{PGCD}(8,5)=1$ divise $100$ : l'équation admet des solutions. Une solution évidente saute aux yeux : $$8\times 0+5\times 20=100 \qquad \text{d'où} \qquad (x_{0}\,;y_{0})=(0\,;20)$$ Soit $(x\,;y)$ une solution. En soustrayant terme à terme : $$8x+5(y-20)=0 \qquad \text{soit} \qquad 8x=5(20-y)$$ Comme $5$ divise $8x$ et que $\mathrm{PGCD}(5,8)=1$, le théorème de Gauss donne $5\mid x$ : il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $x=5k$. En reportant, $8\times 5k=5(20-y)$, d'où $y=20-8k$. $$\boxed{S=\left\{(5k\,;20-8k) \; ; \; k\in\mathbb{Z}\right\}}$$ Vérification : $8\times 5k+5(20-8k)=40k+100-40k=100$.

(b) Notons $x$ le nombre d'hommes et $y$ celui de femmes. La dépense totale s'écrit $8x+5y=100$, et ces deux nombres doivent être des entiers naturels. On impose donc : $$\left\{\begin{array}{l} 5k\geqslant 0 \\ 20-8k\geqslant 0 \end{array}\right. \qquad \text{soit} \qquad 0\leqslant k\leqslant\frac{20}{8}=2{,}5$$ Les valeurs possibles sont $k\in\{0\,;1\,;2\}$ :

L'énoncé parle d'un groupe d'hommes et de femmes : les deux nombres doivent être non nuls, ce qui écarte $k=0$. $$\boxed{\text{Soit } 5 \text{ hommes et } 12 \text{ femmes, soit } 10 \text{ hommes et } 4 \text{ femmes}}$$ Vérification : $5\times 8+12\times 5=40+60=100$ et $10\times 8+4\times 5=80+20=100$.