Exercice 24 À la ferme

1. La dépense s'écrit $\boxed{7x+11y=200}$, avec $x$ et $y$ entiers naturels non nuls.

2. Algorithme d'Euclide : $11=7\times 1+4$, $7=4\times 1+3$, $4=3\times 1+1$. Remontée : $$1=4-3=4-(7-4)=2\times 4-7=2\times(11-7)-7=2\times 11-3\times 7$$ Ainsi $7\times(-3)+11\times 2=1$, et en multipliant par $200$ : $$7\times(-600)+11\times 400=200 \qquad \text{d'où la solution particulière} \qquad (-600\,;400)$$

3. Si $(x\,;y)$ est solution, en soustrayant : $7(x+600)=11(400-y)$. Comme $11$ divise $7(x+600)$ et que $\mathrm{PGCD}(7,11)=1$, le théorème de Gauss donne $x+600=11k$, puis $y=400-7k$, avec $k\in\mathbb{Z}$. La réciproque se vérifie : $7(11k-600)+11(400-7k)=-4200+4400=200$. $$\boxed{S=\left\{(11k-600\,;400-7k) \; ; \; k\in\mathbb{Z}\right\}}$$ On impose $x\geqslant 1$ et $y\geqslant 1$ : $$11k\geqslant 601 \iff k\geqslant 54{,}6\ldots \qquad ; \qquad 7k\leqslant 399 \iff k\leqslant 57$$ donc $k\in\{55\,;56\,;57\}$ :

$$\boxed{\text{3 achats possibles : } 5 \text{ poules et } 15 \text{ lapins, } 16 \text{ et } 8, \text{ ou } 27 \text{ et } 1}$$ Vérification : $35+165=112+88=189+11=200$. La solution particulière obtenue par la remontée est très éloignée des solutions utiles : il ne faut pas s'en inquiéter, la solution générale permet de revenir dans le bon domaine.