Exercice 25

Notons $a$ le nombre d'adultes payant plein tarif, $e$ celui des étudiants et $f$ celui des enfants. L'énoncé se traduit par le système : $$\left\{\begin{array}{l} a+e+f=28 \\ 26a+17e+13f=613 \end{array}\right.$$ On élimine $a$ en remplaçant $a=28-e-f$ dans la seconde équation : $$\begin{aligned} 26(28-e-f)+17e+13f &= 613 \\ 728-26e-26f+17e+13f &= 613 \\ -9e-13f &= -115 \end{aligned}$$

$$\boxed{9e+13f=115}$$ Il reste à résoudre cette équation diophantienne. Comme $\mathrm{PGCD}(9,13)=1$ divise $115$, elle admet des solutions.

Solution particulière. On cherche d'abord un couple de Bézout pour $9$ et $13$ : $$9\times 3-13\times 2=27-26=1$$ En multipliant par $115$ : $$9\times 345+13\times(-230)=115 \qquad \text{d'où} \qquad (e_{0}\,;f_{0})=(345\,;-230)$$

Solutions générales. Soit $(e\,;f)$ une solution. En soustrayant terme à terme : $$9(e-345)+13(f+230)=0 \qquad \text{soit} \qquad 9(e-345)=-13(f+230)$$ Comme $13$ divise $9(e-345)$ et que $\mathrm{PGCD}(9,13)=1$, le théorème de Gauss donne $13\mid(e-345)$ : il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $e=13k+345$. En reportant, $9\times 13k=-13(f+230)$, d'où $f=-9k-230$.

Contraintes du problème. Les trois effectifs sont des entiers naturels : $$\left\{\begin{array}{l} e=13k+345\geqslant 0 \\ f=-9k-230\geqslant 0 \\ a=28-e-f\geqslant 0 \end{array}\right. \qquad \text{soit} \qquad \left\{\begin{array}{l} k\geqslant -\frac{345}{13}\approx -26{,}5 \\[1mm] k\leqslant -\frac{230}{9}\approx -25{,}6 \\[1mm] 28-(13k+345)-(-9k-230)\geqslant 0 \end{array}\right.$$ Les deux premières conditions imposent $-26{,}5\leqslant k\leqslant -25{,}6$, donc $k=-26$. On obtient alors : $$e=13\times(-26)+345=-338+345=7 \qquad ; \qquad f=-9\times(-26)-230=234-230=4$$ puis $a=28-7-4=17$. La troisième condition est bien vérifiée. $$\boxed{17 \text{ adultes, } 7 \text{ étudiants et } 4 \text{ enfants}}$$ Vérification : $17+7+4=28$ et $26\times 17+17\times 7+13\times 4=442+119+52=613$.