Exercice 29 PGCD et PPCM

1. Soit $\delta$ un diviseur commun positif de $a'$ et $b'$. Alors $d\delta$ divise $da'=a$ et $db'=b$ : c'est un diviseur commun de $a$ et $b$, donc $d\delta\leqslant d$, d'où $\delta\leqslant 1$. Ainsi $\boxed{\mathrm{PGCD}(a',b')=1}$. C'est aussi une conséquence de la Proposition 3 : $d=\mathrm{PGCD}(da',db')=d\times\mathrm{PGCD}(a',b')$.

2. $m=da'b'=a\times b'=b\times a'$ : $m$ est bien un multiple de $a$ et de $b$.

3. $M=ak=da'k$ est un multiple de $b=db'$ : il existe $j$ tel que $da'k=db'j$, soit $a'k=b'j$. Ainsi $b'$ divise $a'k$ ; comme $\mathrm{PGCD}(a',b')=1$, le théorème de Gauss donne $b'\mid k$. En écrivant $k=b'k'$ : $$M=ab'k'=m\,k' \qquad \text{donc} \qquad m\mid M$$

4. $m$ est un multiple commun non nul de $a$ et $b$. Si $M$ est un autre multiple commun positif, $m$ divise $M$ d'après la question 3, donc $m\leqslant M$. Ainsi $m$ est le plus petit : $$\boxed{\mathrm{PPCM}(a,b)=da'b'}$$ puis $d\times da'b'=(da')(db')=ab$, soit : $$\boxed{\mathrm{PGCD}(a,b)\times\mathrm{PPCM}(a,b)=ab}$$

5. À chaque dent qui passe, chaque roue avance d'une dent. Les deux points rouges se retrouvent face à face lorsque le nombre $N$ de dents passées est à la fois un multiple de $36$, pour que la première roue ait fait un nombre entier de tours, et de $60$, pour la seconde. Le premier tel $N$ est : $$N=\mathrm{PPCM}(36,60)=\frac{36\times 60}{\mathrm{PGCD}(36,60)}=\frac{2160}{12}=180$$