Exercice 28

1. (a) $$u_{1}=4\times 0+1=\boxed{1} \quad ; \quad u_{2}=4\times 1+1=\boxed{5} \quad ; \quad u_{3}=4\times 5+1=\boxed{21}$$

(b) Soit $n\in\mathbb{N}$. La relation de récurrence s'écrit : $$u_{n+1}-4u_{n}=1 \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad 1\times u_{n+1}+(-4)\times u_{n}=1$$ C'est une combinaison linéaire de $u_{n+1}$ et $u_{n}$ à coefficients entiers, égale à $1$. D'après le théorème de Bézout : $$\boxed{u_{n+1} \text{ et } u_{n} \text{ sont premiers entre eux}}$$

2. (a) Pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$\begin{aligned} v_{n+1} &= u_{n+1}+\frac{1}{3}=4u_{n}+1+\frac{1}{3}=4u_{n}+\frac{4}{3} \\ &= 4\left(u_{n}+\frac{1}{3}\right)=4v_{n} \end{aligned}$$

(b) On en déduit $v_{n}=\dfrac{1}{3}\times 4^{n}$, puis : $$u_{n}=v_{n}-\frac{1}{3}=\frac{4^{n}}{3}-\frac{1}{3}$$

$$\boxed{u_{n}=\frac{4^{n}-1}{3}}$$ Vérification : $u_{3}=\dfrac{64-1}{3}=21$.

3. L'expression précédente donne $4^{n}-1=3u_{n}$ et $4^{n+1}-1=3u_{n+1}$. Or le PGCD est compatible avec la multiplication par un entier positif : $$\mathrm{PGCD}\left(4^{n+1}-1\,,\,4^{n}-1\right) =\mathrm{PGCD}\left(3u_{n+1}\,,\,3u_{n}\right) =3\times\mathrm{PGCD}(u_{n+1},u_{n})$$ Or la question 1b a établi que $\mathrm{PGCD}(u_{n+1},u_{n})=1$ : $$\boxed{\mathrm{PGCD}\left(4^{n+1}-1\,,\,4^{n}-1\right)=3}$$ Vérification pour $n=2$ : $\mathrm{PGCD}(63,15)=3$.