Exercice 27 Restes chinois avec des modules non premiers entre eux

1. Si $n\equiv 1\;[6]$, alors $n=6q+1$ est impair. Si $n\equiv 4\;[8]$, alors $n=8q'+4$ est pair. Un entier ne peut pas être à la fois pair et impair : $$\boxed{\text{le système } n\equiv 1\;[6],\ n\equiv 4\;[8] \text{ n'a aucune solution}}$$

2. (a) $n\equiv 3\;[6]$ signifie qu'il existe $a\in\mathbb{Z}$ tel que $n=6a+3$, et $n\equiv 5\;[8]$ qu'il existe $b\in\mathbb{Z}$ tel que $n=8b+5$. Alors $6a+3=8b+5$, soit $6a-8b=2$, et en divisant par $2$ : $\boxed{3a-4b=1}$.

(b) Le couple $(3\,;2)$ est solution, car $9-8=1$. En soustrayant : $3(a-3)=4(b-2)$. Par le théorème de Gauss, $a-3=4k$ avec $k\in\mathbb{Z}$, puis $b=2+3k$. Alors : $$n=6(3+4k)+3=21+24k$$ Réciproquement, si $n=21+24k$, alors $n=6(3+4k)+3\equiv 3\;[6]$ et $n=8(2+3k)+5\equiv 5\;[8]$. $$\boxed{n\equiv 3\;[6] \text{ et } n\equiv 5\;[8] \iff n\equiv 21\;[24]}$$

3. Dans l'exercice 26, les modules $17$ et $5$ sont premiers entre eux. Le corollaire de Gauss (Proposition 6) permettait alors de passer de « $17$ et $5$ divisent $n-n_{0}$ » à « $85$ divise $n-n_{0}$ ». Ici, $6$ et $8$ ne sont pas premiers entre eux, et la Proposition 6 ne s'applique pas : $6$ et $8$ divisent $45-21=24$, mais $48$ ne divise pas $24$. Le bon module est $24$, le plus petit multiple commun de $6$ et $8$ (voir l'exercice 29). Selon les restes imposés, le système peut alors n'avoir aucune solution (question 1), ou des solutions qui se répètent modulo $24$ (question 2).