L'aire sous la courbe

L'aire comprise entre une courbe et l'axe, de $a$ à $x$, est une fonction de $x$. En avançant d'une fine tranche, on voit pourquoi sa dérivée est la fonction de départ, et pourquoi il faut que celle-ci soit continue.

On choisit une fonction $f$, une borne fixe $a$ et une borne mobile $x$. La page colore l'aire algébrique entre la courbe et l'axe, de $a$ à $x$, et trace en dessous la courbe de $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt$. Pour $f(x) = \dfrac{x}{2} + 1$ et $a = 0$, on lit $F(2) = 3$, l'aire d'un trapèze de bases $1$ et $2$ et de hauteur $2$.

Ce que cela signifie : entre $x$ et $x + h$, l'aire gagne une tranche $F(x+h) - F(x)$. Un rectangle de base $h$ et de même aire a pour hauteur le taux d'accroissement $\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h}$, qui est la valeur moyenne de $f$ sur $[x\,;x+h]$ ; quand $h$ tend vers $0$, cette hauteur tend vers $f(x)$ si $f$ est continue en $x$. C'est le théorème fondamental : $F$ est dérivable et $F' = f$. Une fonction en escalier, qui saute de $1$ à $2{,}5$ en $x = 1$, montre que l'hypothèse compte : en $1$, les taux valent $2{,}5$ à droite et $1$ à gauche, et $F$ n'est pas dérivable.

Le piège le plus courant est de prendre l'intégrale pour une aire ordinaire. C'est une aire algébrique : pour $f(x) = \dfrac{x^2}{4} - 1$, négative sur $]-2\,;2[$, on a $\displaystyle\int_{-2}^{2} f(t)\,\mathrm dt = -\dfrac83$, alors que l'aire du domaine vaut $\dfrac83$.