Les anagrammes

Combien de mots peut-on écrire avec les lettres d'ANANAS ? On numérote les lettres répétées, on compte $n!$ rangements, puis on regarde combien de rangements donnent le même mot : c'est le principe des bergers, et la formule $\dfrac{n!}{m_1!\cdots m_k!}$.

On écrit un mot de douze lettres au plus. La page compte ses lettres, calcule le nombre de ses anagrammes et en dresse la liste quand elle est courte. Une seconde figure prend un mot de trois ou quatre lettres, numérote les lettres répétées et range les $n!$ rangements numérotés dans des cases, une par mot obtenu.

Ce que cela signifie : chaque mot provient du même nombre de rangements numérotés, à savoir le produit des factorielles des nombres de répétitions. Un mot de $n$ lettres dont les lettres distinctes apparaissent $m_1, \dots, m_k$ fois a donc $\dfrac{n!}{m_1!\cdots m_k!}$ anagrammes : $120$ pour MATHS, $\dfrac{6!}{3!\,2!} = 60$ pour ANANAS, $\dfrac{6!}{2!\,2!} = 180$ pour BANANE, $34\,650$ pour MISSISSIPPI. Avec deux lettres seulement, on retrouve les coefficients binomiaux : AABBB a $\dbinom52 = 10$ anagrammes.

Le piège le plus courant est de diviser par le nombre de répétitions au lieu de sa factorielle : ELEVE a $\dfrac{5!}{3!} = 20$ anagrammes, et non $\dfrac{5!}{3} = 40$.