De la loi binomiale à la courbe en cloche

Le diagramme de la loi binomiale, calculé exactement, se déplace et s'étale quand $n$ grandit. Centré et réduit, il se cale sur une courbe fixe : la densité de la loi normale.

Deux curseurs règlent $n$, de $1$ à $200$, et $p$, de $0{,}02$ à $0{,}98$. La page trace le diagramme en barres de la loi binomiale $\mathcal B(n\,;p)$, dont chaque probabilité est calculée exactement, et indique l'espérance $np$ et l'écart-type $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$. Une case centre et réduit le diagramme : la barre de $k$ est placée en $\dfrac{k - np}{\sigma}$, avec la largeur $\dfrac1\sigma$ et la hauteur $\sigma\,P(X = k)$, de sorte que son aire reste $P(X = k)$.

Ce que cela signifie : quand $n$ grandit à $p$ fixé, le diagramme centré réduit se rapproche de la courbe de $\varphi(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm e^{-x^2/2}$. C'est le théorème de De Moivre-Laplace : la probabilité que $\dfrac{X_n - np}{\sigma}$ soit entre $a$ et $b$ tend vers l'aire sous la courbe de $\varphi$ entre $a$ et $b$. Un tableau compare les probabilités exactes d'être à moins de un, deux ou trois écarts-types de l'espérance aux limites $0{,}6827$, $0{,}9545$ et $0{,}9973$ ; pour $n = 50$ et $p = 0{,}3$, on lit $0{,}7204$, $0{,}9567$ et $0{,}9969$.

Le piège le plus courant est d'oublier que la loi binomiale ne prend que des valeurs entières. Pour $n = 100$ et $p = 0{,}5$, où $\sigma = 5$, on a $P(45 \leqslant X \leqslant 55) \approx 0{,}7287$ alors que la loi normale annonce $0{,}6827$ : les deux valeurs extrêmes, comptées en entier, pèsent lourd. Et quand $np$ est petit, comme pour $n = 30$ et $p = 0{,}05$, le diagramme reste dissymétrique.