Carrés latins et gréco-latins

Ranger en carré des officiers de plusieurs régiments et de plusieurs grades, de façon que chaque ligne et chaque colonne contienne une fois chaque régiment et une fois chaque grade : c'est le problème posé par Euler en 1782. Possible à l'ordre $3$, $4$, $5$, $7$ ; impossible à l'ordre $6$.

On pose un à un les $n^2$ officiers, chacun portant une lettre latine et une lettre grecque, dans un carré d'ordre $n$ de $3$ à $7$ ; un jeu plus simple n'emploie que les lettres latines. La page peut poser une partie de la grille, signale les fautes directes et donne un indice sur demande.

Ce que cela signifie : un carré latin d'ordre $n$ existe toujours (la table d'addition modulo $n$) ; deux carrés latins sont orthogonaux quand leur superposition donne $n^2$ couples distincts. La page démontre que les restes de $i + j$ et de $2i + j$ modulo $n$ donnent un carré gréco-latin pour tout $n$ impair, que l'ordre $2$ est impossible, et qu'il y a au plus $n - 1$ carrés deux à deux orthogonaux. L'impossibilité à l'ordre $6$ (Tarry) et l'existence pour tous les autres ordres (Bose, Shrikhande et Parker, 1960) sont admises.

Le piège le plus courant est de croire que deux carrés latins se superposent toujours en un carré gréco-latin : la table d'addition modulo $n$ n'a aucun carré orthogonal quand $n$ est pair.