La promenade du cavalier

Faire visiter au cavalier toutes les cases d'un échiquier, de $3 \times 3$ à $8 \times 8$, une seule fois chacune. Les couleurs disent d'où il faut partir et quand le retour au départ est impossible ; pour le reste, il faut chercher, et c'est ce qui distingue ce problème de celui des ponts.

Sur un échiquier de $3$ à $8$ lignes et colonnes, on pose le cavalier puis on le fait sauter de case en case, sans repasser sur aucune. La page numérote les cases visitées, peut compter les sorties de chaque case accessible, conseiller un saut, et dire si un parcours complet existe.

Ce que cela signifie : un saut change de couleur, donc sur un échiquier au nombre impair de cases, tout parcours part de la couleur la plus nombreuse et ne peut pas revenir à son point de départ, ce qui est démontré dans la page. Par recherche exhaustive, la page ne trouve aucun parcours pour $3 \times 3$, $3 \times 5$, $3 \times 6$ et $4 \times 4$, et en trouve un pour toutes les autres tailles proposées. Le théorème de Schwenk (1991), admis, décrit exactement les échiquiers qui admettent un parcours fermé.

Le piège le plus courant est de croire le point de départ indifférent : sur $5 \times 5$, seules les $13$ cases de la couleur des coins conviennent.