Convexité : cordes et tangentes

Une fonction convexe passe sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes. On déplace une corde et une tangente sur six courbes, on retrouve les inégalités $\mathrm e^x \geqslant 1 + x$ et $\ln x \leqslant x - 1$, et l'on distingue un vrai point d'inflexion d'un faux.

On choisit une fonction ($\exp$, $x^2$, $\ln$, $x^3 - 3x$, $x^4$ ou $\sin$), deux points $A$ et $B$ qui portent une corde et un point $T$ où l'on trace la tangente. La page dit si la courbe est sous la corde ou au-dessus entre $A$ et $B$, de quel côté de la tangente elle se trouve, et donne $f''(t)$.

Ce que cela signifie : $f$ est convexe quand sa courbe est sous toutes ses cordes ; si $f$ est deux fois dérivable, cela équivaut à $f'' \geqslant 0$, et la courbe est alors au-dessus de toutes ses tangentes. La tangente à l'exponentielle en $0$ donne $\mathrm e^x \geqslant 1 + x$ pour tout réel $x$ ; celle du logarithme, concave, en $1$ donne $\ln x \leqslant x - 1$ pour tout $x > 0$. En $0$, la courbe de $x^3 - 3x$ traverse sa tangente : c'est un point d'inflexion.

Le piège le plus courant est de conclure à une inflexion dès que $f''$ s'annule : pour $x^4$, $f''(0) = 0$ sans changement de signe, et la fonction est convexe sur $\mathbb R$.