Valeurs intermédiaires et dichotomie

Une fonction continue qui change de signe s'annule ; la dichotomie enferme la solution dans un intervalle deux fois plus court à chaque étape. Et quand la fonction n'est pas continue, la méthode se resserre sur un point qui n'est pas une solution.

On cherche une solution de $f(x) = 0$ sur un intervalle $[a\,;b]$ aux bornes duquel $f$ change de signe : à chaque étape, on calcule le signe de $f$ au milieu et l'on garde la moitié où le changement de signe a lieu. La page propose $x^3 - 2x - 5 = 0$ sur $[2\,;3]$, $\cos x = x$ sur $[0\,;1]$, $x^2 = 2$ sur $[1\,;2]$, et une fonction piège ; elle trace la courbe, l'intervalle courant, et dresse la liste des intervalles successifs.

Ce que cela signifie : après $n$ étapes, la solution est enfermée dans un intervalle de longueur $\dfrac{b - a}{2^n}$, soit une incertitude divisée par $1\,024$ en dix étapes. On trouve ainsi $2{,}0945515$ pour la première équation, $0{,}7390851$ pour la deuxième et $\sqrt2 \approx 1{,}4142136$ pour la troisième. Les deux suites de bornes sont adjacentes, et leur limite commune annule $f$ par continuité : la dichotomie démontre le théorème des valeurs intermédiaires.

Le piège le plus courant est d'oublier l'hypothèse de continuité. La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x - 1{,}3}$ est négative en $1$ et positive en $2$ ; la dichotomie se resserre sans protester autour de $1{,}3$, où la fonction n'est pas définie, alors que l'équation n'a aucune solution. L'autre oubli : le théorème donne au moins une solution, et il faut la stricte monotonie pour affirmer qu'elle est unique.