La méthode d'Euler

Résoudre $y' = ky$ en avançant tout droit pendant un petit pas, puis en recommençant : la ligne brisée se rapproche de l'exponentielle quand le pas diminue, et devient folle quand il est trop grand.

On résout $y' = ky$, $y(0) = 1$ sur $[0\,;2]$ en découpant l'intervalle en $N$ pas de longueur $h = \dfrac2N$ : à chaque pas, l'ordonnée est multipliée par $1 + kh$. La page trace la ligne brisée obtenue et la solution exacte $x \mapsto \mathrm e^{kx}$, et compare leurs valeurs en $2$. Pour $k = 1$, on lit $6{,}1917$ avec $N = 10$, $6{,}7275$ avec $N = 20$ et $7{,}0400$ avec $N = 40$, pour une valeur exacte $\mathrm e^2 \approx 7{,}3891$.

Ce que cela signifie : la méthode donne en $2$ la valeur $\left(1 + \dfrac{2k}{N}\right)^N$, qui tend vers $\mathrm e^{2k}$ quand $N$ tend vers l'infini. Les écarts $1{,}1973$, $0{,}6616$ et $0{,}3491$ sont à peu près divisés par $2$ quand le pas l'est : l'erreur est proportionnelle au pas, la méthode est d'ordre $1$.

Le piège le plus courant est de croire le résultat fiable quel que soit le pas. Pour $k = -3$ et $h = 1$, le facteur $1 + kh$ vaut $-2$ et la méthode fournit $1$, $-2$, $4$, alors que la solution exacte vaut $\mathrm e^{-6} \approx 0{,}0025$ en $2$ : dès que $h > \dfrac{2}{|k|}$, le calcul est instable.