Le problème de Monty Hall

Trois portes, une voiture, un animateur qui ouvre une porte et propose de changer d'avis. On joue, on regarde un mur de $300$ parties, puis on lit la réponse sur un carré dont les aires sont des probabilités : changer gagne deux fois sur trois, à condition que l'animateur sache où est la voiture.

On joue d'abord, avec $3$ à $10$ portes, contre un animateur qui sait où est la voiture ou qui ouvre au hasard. La page joue ensuite $300$ parties d'un coup et colorie chacune selon la stratégie qui la gagne. Enfin un carré d'aire $1$ est découpé selon la place de la voiture et la porte ouverte, avec un curseur pour la préférence $p$ de l'animateur quand il a le choix entre deux chèvres.

Ce que cela signifie : avec $n$ portes et un animateur qui sait, garder gagne avec probabilité $\dfrac1n$ et changer avec probabilité $\dfrac{n-1}{n}$, ce que la page démontre. Avec trois portes, sachant que la porte $3$ s'est ouverte, la formule de Bayes donne $\dfrac{p}{1+p}$ pour la porte gardée : $\dfrac13$ si l'animateur n'a pas de préférence, et jamais plus de $\dfrac12$. Si l'animateur ouvre au hasard et montre une chèvre, les deux stratégies se valent.

Le piège le plus courant est de dire « il reste deux portes, donc une chance sur deux » : deux issues ne sont pas forcément équiprobables, et tout dépend de la façon dont la porte a été ouverte.