Racines et coefficients

On déplace les racines d'un polynôme de degré $2$ ou $3$ et l'on voit ses coefficients se recalculer : la somme et le produit des racines s'y lisent directement. Dans l'autre sens, on retrouve deux nombres dont on connaît la somme et le produit.

On place deux ou trois racines réelles sur l'axe, par pas de $0{,}05$. La page trace la courbe du polynôme unitaire qui a ces racines, l'écrit sous forme factorisée puis développée, et donne la somme des racines, la somme de leurs produits deux à deux et leur produit. Une seconde figure part d'une somme $S$ et d'un produit $P$ et cherche les deux nombres correspondants.

Ce que cela signifie : en développant $(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3) = x^3 + bx^2 + cx + d$, on obtient $r_1 + r_2 + r_3 = -b$, $r_1r_2 + r_1r_3 + r_2r_3 = c$ et $r_1r_2r_3 = -d$. Pour les racines $1$, $2$ et $3$, le polynôme est $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$. Réciproquement, deux nombres de somme $S$ et de produit $P$ sont les racines de $x^2 - Sx + P$ et existent dans $\mathbb R$ si et seulement si $S^2 - 4P \geqslant 0$ : pour $S = 5$ et $P = 6$, ce sont $2$ et $3$ ; pour $S = 2$ et $P = 2$, il n'y en a pas.

Le piège le plus courant est le signe : pour $x^2 + bx + c$, la somme des racines est $-b$. L'autre est d'oublier de diviser par le coefficient dominant : pour $2x^2 - 10x + 12$, la somme vaut $5$ et le produit $6$.