L'intégrale par les rectangles

On remplace l'aire sous une courbe par des rectangles de plus en plus étroits, pris à gauche, à droite ou au milieu, ou par des trapèzes. Toutes les sommes tendent vers l'intégrale, mais pas à la même vitesse : le tableau des erreurs le mesure.

On découpe l'intervalle en $n$ parts égales, de $1$ à $200$, et l'on choisit la hauteur des rectangles : valeur à gauche, à droite, au milieu, ou trapèzes. Quatre fonctions sont proposées, dont l'intégrale est connue : $x^2$ sur $[0\,;1]$ ($\tfrac13$), $\dfrac1x$ sur $[1\,;2]$ ($\ln 2$), $\sin x$ sur $[0\,;\pi]$ ($2$) et $\sqrt x$ sur $[0\,;1]$ ($\tfrac23$). La page dessine les rectangles, donne la somme, l'erreur, et un tableau des erreurs pour $n = 10$ à $160$.

Ce que cela signifie : pour $x^2$ et $n = 10$, on trouve $0{,}285$ à gauche, $0{,}385$ à droite, $0{,}3325$ au milieu et $0{,}335$ par les trapèzes. Doubler $n$ divise l'erreur par $2$ environ pour les rectangles à gauche ou à droite, et par $4$ pour le point milieu et les trapèzes : l'erreur est de l'ordre de $\dfrac1n$ dans le premier cas, de $\dfrac1{n^2}$ dans le second. Pour $\sqrt x$, dont la dérivée n'est pas bornée près de $0$, le rapport du point milieu tombe à $2{,}8$ environ.

Le piège le plus courant est de croire que les rectangles à gauche donnent toujours une valeur par défaut : c'est vrai pour une fonction croissante, c'est l'inverse pour $\dfrac1x$, et pour $\sin$ sur $[0\,;\pi]$ les sommes à gauche et à droite sont égales.