Le trinôme du second degré

Trois coefficients, une parabole : on règle $a$, $b$ et $c$ et l'on voit bouger ensemble le sommet, la forme canonique, le discriminant et les racines.

Trois curseurs règlent les coefficients de $f(x) = ax^2 + bx + c$, par pas de $0{,}05$. La page trace la parabole, son axe et son sommet $S(\alpha\,;\beta)$, et écrit en valeurs exactes les trois formes du trinôme, le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ et les racines. Pour $f(x) = x^2 - 2x - 3$, on lit $\Delta = 16$, le sommet $S(1\,;-4)$, la forme canonique $(x-1)^2 - 4$ et la forme factorisée $(x+1)(x-3)$.

Ce que cela signifie : $c = f(0)$ fixe la hauteur, le signe de $a$ le sens d'ouverture, et $b$ fait glisser le sommet le long de la parabole d'équation $y = -ax^2 + c$. L'axe de symétrie est $x = \alpha$ avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$, et $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$ avec $\beta = -\dfrac{\Delta}{4a}$ : le signe de $\Delta$ dit donc si la parabole coupe l'axe des abscisses en deux points, le touche en un seul, ou ne le rencontre pas.

Le piège le plus courant est le signe de $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ : pour $x^2 - 2x - 3$, l'axe est $x = 1$ et non $x = -1$. L'autre est de lire $\Delta < 0$ comme « le trinôme est négatif » : il signifie seulement que le trinôme ne s'annule pas, et celui-ci garde alors partout le signe de $a$.