Suites arithmétiques et géométriques

Ajouter toujours le même nombre, ou multiplier toujours par le même nombre : on fait courir les deux suites côte à côte, on calcule leurs sommes de deux façons, et l'on voit la suite géométrique rattraper l'autre, puis s'envoler.

On règle le premier terme et la raison d'une suite arithmétique, $u_n = u_0 + nr$, et d'une suite géométrique, $v_n = v_0 q^n$, ainsi que le rang affiché. La page place les termes des deux suites sur une même figure, donne $u_n$, $v_n$ et les sommes $u_0 + \dots + u_n = \dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$ et $v_0 + \dots + v_n = v_0\,\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, calculées par la formule et vérifiées par addition.

Ce que cela signifie : les points d'une suite arithmétique sont alignés, ceux d'une suite géométrique de raison $q > 1$ suivent une courbe exponentielle. Avec $u_n = 5 + 3n$ et $v_n = 0{,}5 \times 1{,}2^n$, la suite arithmétique domine longtemps ($u_{20} = 65$ contre $v_{20} \approx 19{,}17$), puis la suite géométrique la dépasse pour toujours à partir du rang $29$ et vaut déjà environ $734{,}9$ au rang $40$, contre $125$. Avec $-1 < q < 1$, $v_n$ tend vers $0$ et la somme tend vers $\dfrac{v_0}{1 - q}$ : $1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \dots$ s'approche de $2$.

Le piège le plus courant est de se tromper d'une unité sur le nombre de termes : de $u_0$ à $u_n$ il y en a $n + 1$, de sorte que $1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10}$ compte onze termes et vaut $2^{11} - 1 = 2\,047$.