Séparation des groupes topologiques

(i) ⇒ (ii) : dans un espace séparé, les singletons sont fermés (Espaces séparés).

(ii) ⇒ (i) : l'application $\delta(x, y) = xy^{-1}$ est continue et $\delta^{-1}(\{e\})$ est la diagonale de $G \times G$, qui est donc fermée. Un espace dont la diagonale est fermée est séparé (Espaces séparés).

(ii) ⇔ (iii) : $\{e\}$ est fermé si et seulement si tout $x \neq e$ a un voisinage ne contenant pas $e$, c'est-à-dire, par translation et inversion, si et seulement s'il existe un voisinage $V$ de $e$ avec $x^{-1} \notin V$, soit $x \notin V^{-1}$.

Comme $V^{-1}$ parcourt les voisinages de $e$ lorsque $V$ les parcourt, c'est la condition (iii).