Sous-groupes ouverts, fermés, adhérence

(i) Soient $x, y \in \overline H$, et $W$ un voisinage de $xy^{-1}$. Par continuité de $(u, v) \mapsto uv^{-1}$ en $(x, y)$, il existe des voisinages $A$ de $x$ et $B$ de $y$ avec $AB^{-1} \subset W$.

Comme $x, y \in \overline H$, il existe $h \in A \cap H$ et $k \in B \cap H$ (Intérieur, adhérence), et $hk^{-1} \in W \cap H$. Ainsi tout voisinage de $xy^{-1}$ rencontre $H$ : $xy^{-1} \in \overline H$.

Si $H$ est distingué et $g \in G$, la conjugaison $x \mapsto gxg^{-1}$ est un homéomorphisme (Translations) qui envoie $H$ dans $H$, donc $\overline H$ dans $\overline H$.

(ii) Si $V \subset H$ est un voisinage de $e$, chaque $h \in H$ a pour voisinage $hV \subset H$ : $H$ est voisinage de chacun de ses points, donc ouvert (Ouverts et voisinages).

(iii) Le complémentaire de $H$ est la réunion des classes $gH$, $g \notin H$, qui sont ouvertes comme images de $H$ par des translations.

Ce complémentaire est donc ouvert, et $H$ est fermé.