Composante neutre et sous-groupe engendré par un voisinage

(i) Pour $g \in G_0$, la partie $g^{-1}G_0$ est connexe, comme image de $G_0$ par un homéomorphisme, et contient $g^{-1}g = e$ ; elle est donc incluse dans $G_0$. Ainsi $x, y \in G_0$ entraîne $y^{-1}x \in G_0$, et $G_0$ contient $e$ : c'est un sous-groupe (Sous-groupe).

Pour $g \in G$, la conjugaison par $g$ envoie $G_0$ sur un connexe contenant $e$, donc dans $G_0$ : $G_0$ est distingué.

Son adhérence est connexe et contient $e$, donc égale à $G_0$, qui est fermé.

(ii) Un sous-groupe ouvert $H$ est aussi fermé (Sous-groupes). L'intersection $H \cap G_0$ est donc ouverte et fermée dans $G_0$, et non vide puisqu'elle contient $e$ ; comme $G_0$ est connexe, elle est égale à $G_0$ (Connexité).

(iii) $\langle V \rangle$ contient le voisinage $V$ de $e$, donc il est ouvert (Sous-groupes), et $G = G_0 \subset \langle V \rangle$ par (ii).