Proposition 1Groupes topologiques

Translations et voisinages du neutre

Énoncé

Soit $G$ un groupe topologique.

(i) Pour tout $a \in G$ , les translations $x \mapsto ax$ et $x \mapsto xa$ , ainsi que l'inversion, sont des homéomorphismes de $G$ .

(ii) Les voisinages de $a$ sont exactement les parties $aV$ , où $V$ parcourt les voisinages de $e$ . La topologie de $G$ est donc entièrement déterminée par les voisinages du neutre.

(iii) Pour tout voisinage $U$ de $e$ , il existe un voisinage $V$ de $e$ tel que $V = V^{-1}$ et $VV \subset U$ .

(iv) Un morphisme de groupes $f : G \to H$ entre groupes topologiques est continu si et seulement s'il est continu en $e$ .

Démonstration

(i) La translation $L_a : x \mapsto ax$ est la composée de $x \mapsto (a, x)$ , continue par la propriété du produit, et de la multiplication ; elle est bijective de réciproque $L_{a^{-1}}$ , continue elle aussi. De même à droite. L'inversion est continue et égale à sa réciproque.

(ii) Un homéomorphisme envoie les voisinages d'un point sur les voisinages de son image ; on applique cela à $L_a$ , qui envoie $e$ sur $a$ .

(iii) La multiplication est continue en $(e, e)$ et vaut $e$ en ce point : l'image réciproque de $U$ est un voisinage de $(e, e)$ , qui contient donc un cylindre $W_1 \times W_2$ de voisinages de $e$ (Topologie produit), avec $W_1 W_2 \subset U$ .

Posons $W = W_1 \cap W_2$ et $V = W \cap W^{-1}$ . C'est un voisinage de $e$ , puisque l'inversion est un homéomorphisme fixant $e$ ; il vérifie $V^{-1} = V$ et $VV \subset W_1 W_2 \subset U$ .

(iv) Si $f$ est continue en $e$ et $a \in G$ , soit $U$ un voisinage de $f(a)$ . Alors $f(a)^{-1}U$ est un voisinage de $e$ dans $H$ , et il existe un voisinage $V$ de $e$ tel que $f(V) \subset f(a)^{-1}U$ . Le voisinage $aV$ de $a$ vérifie $f(aV) = f(a)f(V) \subset U$ : $f$ est continue en $a$ , donc continue (Continuité).

Réciproquement, un morphisme continu est continu en tout point, en particulier en $e$ (Continuité, (ii)).

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Remarque

Le point (ii) dit qu'un groupe topologique est « homogène » : tous ses points se ressemblent, un homéomorphisme envoyant n'importe lequel sur n'importe quel autre. L'erreur la plus répandue est d'en déduire que toute topologie homogène sur un groupe en fait un groupe topologique : il faut encore la continuité de la multiplication en les deux variables simultanément, que le point (iii) traduit.

Remarque

La construction de la preuve de (iii) se voit sur le groupe additif des réels, que la branche $\mathbb R$ construira plus loin et qui ne sert ici que d'illustration.

Dans le groupe additif

\mathbb R

, la multiplication est

(x, y) \mapsto x + y

, et l'image réciproque de

U = \,]{-1}, 2[

est la bande rouge, voisinage de

(0, 0)

. Elle contient le cylindre

W_1 \times W_2

, en bleu, avec

W_1 = \,]{-\frac25}, 1[

W_2 = \,]{-\frac12}, \frac9{10}[

, puis le carré

V \times V

, en vert, où

W = \,]{-\frac25}, \frac9{10}[

V = W \cap (-W) = \,]{-\frac25}, \frac25[

; l'inclusion de

V \times V

dans la bande traduit

V + V \subset U

Repose sur

Groupe topologique

Sert à

Sous-groupes ouverts, fermés, adhérence Espace et groupe quotients