Espace et groupe quotients

(i) Si $U$ est ouvert, $\pi^{-1}(\pi(U)) = UH = \bigcup_{h \in H} Uh$ est ouvert comme réunion de translatés de $U$, les translations étant des homéomorphismes (Translations, voisinages de e, (i)) ; par définition de la topologie quotient, $\pi(U)$ est ouvert (Topologie quotient).

Un lemme. Si $p : X \to Y$ est continue, ouverte et surjective, une partie $V \subset Y$ est ouverte dès que $p^{-1}(V)$ l'est, puisque $V = p(p^{-1}(V))$.

Le produit $$\pi \times \pi : G \times G \to (G/H) \times (G/H)$$ est continu, surjectif, et ouvert, puisqu'il envoie un cylindre ouvert $U \times U'$ sur le cylindre ouvert $\pi(U) \times \pi(U')$.

(ii) Si $G/H$ est séparé, le point $\pi(e)$ est fermé, et $H = \pi^{-1}(\pi(e))$ aussi.

Réciproquement, si $H$ est fermé, l'ensemble $$R = \{(x, y) : x^{-1}y \in H\}$$ est fermé dans $G \times G$, comme image réciproque de $H$ par une application continue, et $R = (\pi \times \pi)^{-1}(\Delta)$, où $\Delta$ est la diagonale de $G/H$.

Par le lemme, le complémentaire de $\Delta$, dont l'image réciproque est l'ouvert $G \times G \setminus R$, est ouvert : $\Delta$ est fermée, et $G/H$ est séparé (Espaces séparés).

(iii) Le quotient est un groupe (Groupe quotient). L'application $\bar\delta(\pi(x), \pi(y)) = \pi(xy^{-1})$ vérifie $\bar\delta \circ (\pi \times \pi) = \pi \circ \delta$, qui est continue.

Le diagramme commute : les deux chemins de $G \times G$ à $G/H$ envoient $(x, y)$ sur $\pi(xy^{-1})$. Toute l'information sur $\bar\delta$ se lit ainsi sur la composée continue $\pi \circ \delta$, et le lemme la fait passer au quotient.

Pour $V$ ouvert dans $G/H$, $(\pi \times \pi)^{-1}(\bar\delta^{-1}(V))$ est donc ouvert, et le lemme montre que $\bar\delta^{-1}(V)$ l'est : $\bar\delta$ est continue.