Définition 1Groupes topologiques

Groupe topologique

Énoncé

Un groupe topologique est un groupe $G$ muni d'une topologie pour laquelle la multiplication $G \times G \to G$ , $(x, y) \mapsto xy$ , où $G \times G$ porte la topologie produit, et le passage au symétrique $x \mapsto x^{-1}$ sont continus. Il revient au même de demander que $(x, y) \mapsto xy^{-1}$ soit continue.

Un morphisme de groupes topologiques est un morphisme de groupes continu ; un isomorphisme de groupes topologiques est un morphisme bijectif dont la réciproque est continue.

Démonstration

Si la multiplication et l'inversion sont continues, $(x, y) \mapsto xy^{-1}$ est la composée de $(x, y) \mapsto (x, y^{-1})$ , continue par la propriété du produit (Topologie produit), et de la multiplication.

Réciproquement, si $\delta(x, y) = xy^{-1}$ est continue, alors $x \mapsto x^{-1} = \delta(e, x)$ est continue, et $xy = \delta(x, y^{-1})$ l'est aussi, comme composée.

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Remarque

Tout groupe muni de la topologie discrète est un groupe topologique, puisque toute application issue d'un espace discret est continue et que le produit de deux espaces discrets est discret. Un sous-groupe muni de la topologie induite, et un produit de groupes topologiques muni de la topologie produit, sont encore des groupes topologiques.

Remarque

Les exemples qui ont motivé la notion viendront plus tard : $(\mathbb R, +)$ , le cercle des complexes de module $1$ , les groupes de matrices inversibles réelles ou complexes. Ils demandent $\mathbb R$ , que ce graphe précède.

Repose sur

Structures algébriques Structures topologiques

Sert à

Translations et voisinages du neutre Produits de compacts