Proposition 4Groupes topologiques

Produits de compacts

Énoncé

Soit $G$ un groupe topologique séparé. Si $K$ et $L$ sont des parties compactes de $G$ , alors $KL = \{xy : x \in K,\ y \in L\}$ et $K^{-1}$ sont compactes.

Démonstration

$K \times L$ est compact (Produit de deux compacts), et $KL$ en est l'image par la multiplication, continue, à valeurs dans l'espace séparé $G$ : elle est compacte (Compacts, fermés et images). De même, $K^{-1}$ est l'image de $K$ par l'inversion.

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Remarque

Un groupe est localement compact si $e$ a un voisinage compact. C'est le cadre du théorème de Haar : un tel groupe porte une mesure invariante par translation à gauche, unique à un facteur près. Son énoncé demande la théorie de la mesure (Mesure, intégration), donc $\mathbb R$ .

Remarque

Un groupe compact connexe, comme le cercle unité de $\mathbb C$ , et un groupe discret, comme $\mathbb Z$ , sont les deux extrêmes ; la composante neutre (Composante neutre) sépare tout groupe localement compact en une partie connexe et un quotient totalement discontinu.

Repose sur

Groupe topologique

Sert à

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