Théorème 3Logique du premier ordre

Théorème de compacité ⋆

⋆ Axiome du choix

Pour des langages quelconques, le théorème de compacité équivaut au lemme de l'ultrafiltre (Lemme de l'ultrafiltre). Pour une signature finie ou dénombrable, la démonstration n'emploie aucune forme du choix, puisque celle du théorème de complétude n'en emploie pas.

Énoncé

Une théorie a un modèle si et seulement si chacune de ses parties finies a un modèle.

Démonstration

Une partie finie d'une théorie qui a un modèle en a un. Réciproquement, supposons que chaque partie finie de $T$ ait un modèle ; par le théorème de correction, chacune est cohérente. Si $T$ était incohérente, une démonstration formelle d'une contradiction à partir de $T$ n'utiliserait qu'un nombre fini d'éléments de $T$ , formant une partie finie incohérente. Donc $T$ est cohérente, et elle a un modèle par le théorème de complétude.

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Remarque

Le nom vient de la topologie : l'espace des théories complètes, muni d'une topologie naturelle, est compact, et le théorème en est la traduction. Dans $\mathsf{ZF}$ , il équivaut d'ailleurs au lemme de l'ultrafiltre, tout comme le théorème de Tychonov pour les compacts séparés.

Repose sur

Théorème de complétude

Sert à

Modèles non standard de l'arithmétique