Modèles non standard de l'arithmétique

Pour $n \in \mathbb N$, notons $\underline n$ le terme $S \cdots S\, 0$, avec $n$ occurrences de $S$, dont la valeur dans $\mathbb N$ est $n$. Ajoutons une constante $c$ et considérons $$T = \mathrm{Th}(\mathbb N) \cup \{c \neq \underline n : n \in \mathbb N\}.$$ Une partie finie de $T$ ne mentionne qu'un nombre fini d'énoncés $c \neq \underline n$ ; en interprétant $c$ dans $\mathbb N$ par un entier plus grand que tous les $n$ concernés, on obtient un modèle. Par compacité, appliquée à la signature finie $\{0, S, +, \times, c\}$, ce qui n'emploie aucun choix, $T$ a un modèle $\mathcal M$. En oubliant l'interprétation de $c$, on obtient une structure $\mathcal M_0$ pour $\{0, S, +, \times\}$, de même domaine, qui est un modèle de $\mathrm{Th}(\mathbb N)$, puisque la satisfaction d'un énoncé où $c$ ne figure pas n'emploie pas $c^{\mathcal M}$.

Dans $\mathbb N$, tout élément est la valeur d'un terme $\underline n$. Un isomorphisme $h : \mathbb N \to \mathcal M_0$ enverrait, par récurrence sur $n$, la valeur de $\underline n$ dans $\mathbb N$ sur sa valeur dans $\mathcal M_0$, et serait donc à valeurs dans l'ensemble de ces valeurs. Celui-ci ne contient pas $c^{\mathcal M}$, puisque $\mathcal M$ satisfait chaque énoncé $c \neq \underline n$. L'application $h$ ne serait pas surjective : $\mathcal M_0$ n'est pas isomorphe à $\mathbb N$.