Exercice 37 Théorème de Wilson

a) Existence. D'après Fermat, $a\times a^{p-2}=a^{p-1}\equiv 1\;[p]$. Le reste de $a^{p-2}$ modulo $p$ est donc un inverse de $a$ ; il n'est pas nul, puisque son produit par $a$ est congru à $1$. Unicité. Si $ab\equiv ab'\equiv 1\;[p]$ avec $b$, $b'$ dans $\{1,\dots,p-1\}$, alors $p$ divise $a(b-b')$, donc $b-b'$ (lemme d'Euclide), d'où $b=b'$.

b) $i(a)=a$ équivaut à $a^{2}\equiv 1\;[p]$, c'est-à-dire $p\mid(a-1)(a+1)$, soit $p\mid a-1$ ou $p\mid a+1$. Dans $\{1,\dots,p-1\}$, cela donne $a=1$ ou $a=p-1$.

c) Pour $p=2$, $(p-1)!=1\equiv -1\;[2]$. Pour $p\geqslant 3$, on a $i\big(i(a)\big)=a$, et d'après b), les entiers $2$, …, $p-2$ se regroupent en paires $\{a,i(a)\}$ d'éléments distincts dont le produit est congru à $1$. Donc $2\times 3\times\dots\times(p-2)\equiv 1\;[p]$, et $(p-1)!\equiv 1\times 1\times(p-1)\equiv -1\;[p]$ : $\boxed{(p-1)!\equiv -1\;[p]}$. Vérification : $6!=720=7\times 103-1$.

d) Soit $a\in\{1,\dots,n-1\}$ et $c$ le produit des autres éléments de $\{1,\dots,n-1\}$ : $ac=(n-1)!\equiv -1\;[n]$, donc $a\times(-c)\equiv 1\;[n]$, et $-c$ est un inverse de $a$. Si $n$ n'était pas premier, il s'écrirait $n=ab$ avec $1<a<n$ ; en notant $d$ un inverse de $a$, on aurait $ad-1=kn=kab$ avec $k\in\mathbb{Z}$, donc $a$ diviserait $1$, ce qui est absurde. Ainsi $\boxed{n \text{ est premier}}$.

Le théorème de Wilson fournit donc une caractérisation des nombres premiers : $n\geqslant 2$ est premier si et seulement si $(n-1)!\equiv -1\;[n]$. Elle est toutefois inutilisable en pratique, $(n-1)!$ étant gigantesque.