Feuille d'exercicesMaths expertes, chapitre 4

Congruences

37 exercices corrigés · 13 14 6 4

Énoncés (PDF)Corrigés (PDF)Le cours

Calculs de congruences

Exercice 1 Pour chaque valeur de a, trouver un entier relatif x∈[-4;4] tel que: aequiv x [9]: 1. a=11 2. a=24 3. a=62 4. a=85 5. a=-12 6. a=32
Exercice 2 Soient a, b deux entiers relatifs et n≥ 2 un entier. Dire si chacune des affirmations suivantes est Vraie ou Fausse, en justifiant par une…
Exercice 3 En utilisant les congruences, déterminer le reste de la division par: a) 11, des nombres 12^15, 10^7, 78^15, 13^12 et (-2)^19. b) 7, des nombres…
Exercice 4 1. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2^100 par 3, par 5, par 7 et par 9. 2. Déterminer le reste de la division euclidienne de…

Divisibilité et chiffres

Exercice 5 Démontrer que: 1. Pour tout k∈ℕ, 5^4k-1 est divisible par 13. 2. Pour tout n∈ℕ, 5^2n-14^n est divisible par 11.
Exercice 6 1. À l'aide des congruences, montrer que pour tout n∈ℕ, 3^(2n+1)+2^(n+2) est divisible par 7. 2. Montrer par récurrence que pour tout n∈ℕ, 4^n+15n-1…
Exercice 7 Déterminer le chiffre des unités de: a) 3^2025 b) 7^2025 c) 13^2025 Puis du nombre suivant: 7^7^(7^7^(7^7^7))
Exercice 8 · Critères de divisibilité Soit N=a_k× 10^k+…+a_1× 10+a_0 un entier naturel écrit en base 10. 1. En remarquant que 10equiv 1 [9] et 10equiv -1 [11], retrouver les critères de…

Tableaux de congruences et équations

Exercice 9 On veut montrer que l'équation suivante n'a pas de solutions entières: 11x^2-7y^2=5 1. On suppose qu'il existe une solution (x;y). Montrer en…
Exercice 10 1. Soit n un entier quelconque, dresser le tableau de congruence pour n et n^2 modulo 8. 2. Avec l'aide de la question précédente, résoudre dans ℤ…
Exercice 11 Soient x et k deux entiers relatifs, et n=x^2+x-2. 1. Déterminer l'ensemble E_7 des entiers x tels que n est divisible par 7. 2. Déterminer…
Exercice 12 Soit n un entier naturel quelconque, on considère l'équation suivante: (E): 3x^2+7y^2=10^2n où x, y∈ℤ 1. Montrer que 100equiv 2 [7] et en déduire…
Exercice 13 À l'aide de tableaux de congruences, résoudre dans ℤ les équations suivantes: a) 3xequiv 4 [7] b) 5xequiv 2 [12] c) 6xequiv 3 [9] d) 4xequiv 3 [10]…
Exercice 14 · Le problème de Sunzi On reprend le problème évoqué dans l'introduction du cours: déterminer un nombre d'objets x tel que, comptés 3 par 3, il en reste 2, comptés 5 par…

Petit théorème de Fermat

Exercice 15 1. Montrer que pour tout n∈ℕ, 3^6n-1 est divisible par 7. 2. Soit p un nombre premier différent de 3. Montrer que pour tout n∈ℕ, 3^(n+p)-3^(n+1) est…
Exercice 16 1. Montrer que 4^28-1 est divisible par 29. 2. Montrer que pour tout n∈ℕ, 4^n-1 est divisible par 3. 3. Montrer que pour tout k∈ℕ, 4^4k-1 est…
Exercice 17 À l'aide du petit théorème de Fermat: 1. déterminer le reste de la division euclidienne de 3^100 par 13; 2. déterminer le reste de la division…
Exercice 18 Soit n∈ℕ et a=n^5-n. 1. Montrer que a est divisible par 5. 2. Montrer que a=n(n^2-1)(n^2+1) puis que a est divisible par 2 et 3. En déduire que a…
Exercice 19 1. Soit n∈ℕ et A=n^7-n. (a) Montrer que A est divisible par 7. (b) Vérifier que A=n(n^3+1)(n^3-1) et en déduire que A est divisible par 2 et par 3.…

Exercices d'approfondissement

Exercice 20 On considère la suite (u_n) définie sur ℕ par { begin array{ll} u_0=14 u_(n+1)=5u_n-6 end array. 1. Calculer u_1, u_2, u_3 et u_4. Quelle conjecture…
Exercice 21 Le but de cet exercice est de montrer qu'il existe un entier naturel n dont l’écriture décimale du cube se termine par 2 009, c’est-à-dire tel que…
Exercice 22 On considère la suite (u_n) définie sur ℕ^() par: u_n=2^n+3^n+6^n-1 1. Calculer les six premiers termes de la suite. 2. Montrer que pour tout…
Exercice 23 · Nombres de Poulet Soit n∈ℕ^() impair, tel que: 2^(n-1)not equiv 1 [n]. 1. Montrer que n n'est pas premier. 2. Quel est le reste de la division de 2^340 par 341 ? Que…
Exercice 24 · Nombres de Carmichaël Un nombre de Carmichaël est un entier n non premier qui vérifie la propriété: « Pour tout entier a premier avec n, l’entier n est un diviseur de…
Exercice 25 · Clé de contrôle ISBN Jusqu'en 2007, les livres étaient identifiés par un numéro ISBN de dix chiffres a_1a_2… a_10, le dernier, appelé clé, étant choisi dans llbracket…
Exercice 26 · Chiffrement affine On numérote les lettres de l'alphabet de A=0 à Z=25. Pour chiffrer une lettre de numéro x, on calcule le reste y de la division euclidienne de 5x+3…

Pour aller plus loin

Exercice 27 1. Quel est le reste de la division de 5^2022 par 8 ? 2. a) Vérifier que, si n∈ℕ, (n+3)^3equiv n^3 [9] et 7^(n+3)equiv 7^n [9]. b) Quel est le reste…
Exercice 28 1. Montrer que, si x∈ℤ, 11mid 2x+3 ⇔ 11mid 5x+2. 2. Quels sont les x∈ℤ tels que 12 divise x^2-1 ? tels que 12 divise x^2-2 ?
Exercice 29 a) Déterminer les n∈ℕ tels que 5 divise 2^n-3. b) Déterminer les n∈ℕ tels que 13 divise 2^n-3. c) Déterminer les n∈ℕ tels que 65 divise 2^n-3.
Exercice 30 1. Quels sont les nombres premiers p tels que p divise 7^p+8^p ? 2. Montrer que, pour tout x∈ℤ, x^11equiv x [33].
Exercice 31 Soit (F_n)_(n≥ 0) la suite de Fibonacci, définie par F_0=0, F_1=1 et F_(n+2)=F_(n+1)+F_n pour tout n∈ℕ. Pour n∈ℕ, calculer le reste de la division…
Exercice 32 a) Décomposer 2730 en facteurs premiers. b) Montrer que, pour tout nombre premier p divisant 2730, p-1 divise 12. c) Montrer que, pour tout x∈ℤ, on…
Exercice 33 En utilisant éventuellement le fait que p divise binom p{k} pour 1≤ k≤ p-1 (démonstration du petit théorème de Fermat), montrer que, si p est un…
Exercice 34 Montrer que l'équation x^2+y^2=3z^2 n'a pas de solution dans ℤ^3 autre que (0,0,0). On commencera par montrer que, si (x,y,z) est une solution,…
Exercice 35 · Carrés modulo un nombre premier Soit p un nombre premier. Si x∈ℤ, on dit que x est un carré modulo p s'il existe y∈ℤ tel que xequiv y^2 [p]. a) Vérifier que tout x∈ℤ est un carré…
Exercice 36 · Le petit théorème de Fermat par la méthode d'Euler Soient p un nombre premier, x∈ℤ non divisible par p. a) Montrer que l'application qui à a∈1,…,p-1 associe le reste r(a) de la division euclidienne…
Exercice 37 · Théorème de Wilson Soit p un nombre premier. On dit que b est un inverse de a modulo p si abequiv 1 [p]. a) Justifier que tout a∈1,…,p-1 admet un unique inverse modulo…