Exercice 3

Principe. Pour calculer le reste d'une puissance, on ne calcule jamais la puissance ! On réduit d'abord la base modulo $n$, puis on cherche un exposant pour lequel le résultat vaut $1$ ou $-1$ : les puissances deviennent alors immédiates.

a) Division par $11$

• $12=11+1$ donc $12\equiv 1\;[11]$, d'où $$12^{15}\equiv 1^{15}=1\;[11] \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\text{le reste de } 12^{15} \text{ est } 1.}$$

• $10\equiv -1\;[11]$ (car $10-(-1)=11$), d'où $$10^{7}\equiv (-1)^{7}=-1\equiv 10\;[11] \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\text{le reste de } 10^{7} \text{ est } 10.}$$ Le reste doit être compris entre $0$ et $10$ : on remplace donc $-1$ par $10$.

• $78=11\times 7+1$ donc $78\equiv 1\;[11]$, d'où $$78^{15}\equiv 1\;[11] \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\text{le reste de } 78^{15} \text{ est } 1.}$$

• $13\equiv 2\;[11]$. Cherchons les puissances de $2$ : $$2^{1}=2,\quad 2^{2}=4,\quad 2^{3}=8,\quad 2^{4}=16\equiv 5,\quad 2^{5}\equiv 10\equiv -1 \;[11]$$ Donc $2^{10}=\left(2^{5}\right)^{2}\equiv (-1)^{2}=1\;[11]$, et $$13^{12}\equiv 2^{12}=2^{10}\times 2^{2}\equiv 1\times 4=4\;[11] \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\text{le reste est } 4.}$$

• $(-2)^{19}=-2^{19}$, et $2^{19}=2^{10}\times 2^{9}\equiv 2^{9}\;[11]$. Or $2^{9}=2^{5}\times 2^{4}\equiv(-1)\times 5=-5\equiv 6\;[11]$, donc $$(-2)^{19}\equiv -6\equiv 5\;[11] \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\text{le reste est } 5.}$$

b) Division par $7$

• $351=7\times 50+1$ donc $351\equiv 1\;[7]$, et $85=7\times 12+1$ donc $85\equiv 1\;[7]$. La compatibilité du produit avec les congruences donne : $$351^{12}\times 85^{15}\equiv 1^{12}\times 1^{15}=1\;[7] \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\text{le reste est } 1.}$$

• $16=7\times 2+2$ et $23=7\times 3+2$ : ces deux nombres sont congrus au même entier $2$ modulo $7$. Donc $16^{12}\equiv 2^{12}$ et $23^{12}\equiv 2^{12}$, d'où $$16^{12}-23^{12}\equiv 2^{12}-2^{12}=0\;[7] \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\text{le reste est } 0.}$$ Inutile ici de calculer $2^{12}$ : il suffit de constater que les deux termes ont la même classe.