Exercice 2

1. Vrai. C'est la compatibilité de la congruence avec les puissances (Proposition 1, avec $k=2$).

2. Faux. Modulo $8$, avec $a=1$ et $b=3$ : $a^{2}=1$ et $b^{2}=9\equiv 1\;[8]$, mais $1\not\equiv 3\;[8]$ et $1\not\equiv -3\equiv 5\;[8]$. Le tableau des carrés modulo $8$ de l'exercice 10 montre d'ailleurs que $1$, $3$, $5$ et $7$ ont tous le même carré.

3. Faux. Modulo $4$, avec $a=1$ et $b=3$ : $2a=2$ et $2b=6\equiv 2\;[4]$, alors que $1\not\equiv 3\;[4]$. On ne peut pas « simplifier » une congruence par un facteur comme une égalité.

4. Faux. Modulo $6$, avec $a=2$ et $b=3$ : $ab=6\equiv 0\;[6]$ alors que ni $2$ ni $3$ n'est congru à $0$ modulo $6$. L'affirmation devient vraie lorsque $n$ est premier : c'est exactement le lemme d'Euclide du chapitre 1.

5. Vrai. D'après la Proposition 2, $a-b=12k=4\times(3k)$ avec $k\in\mathbb{Z}$, donc $a\equiv b\;[4]$. Plus généralement, une congruence modulo $n$ reste vraie modulo tout diviseur de $n$.

6. Faux. Avec $a=6$ et $b=0$ : $6\equiv 0\;[6]$ mais $6\not\equiv 0\;[12]$. On ne peut pas passer à un multiple du module.

L'erreur la plus répandue est de croire que les congruences se manipulent exactement comme les égalités : les additions et multiplications sont permises (Proposition 1), mais pas les simplifications (questions 3 et 4).