Exercice 1

Rappel de méthode. Dire que $a\equiv x\;[9]$ signifie que $a-x$ est un multiple de $9$. On commence donc par effectuer la division euclidienne de $a$ par $9$ : le reste $r$ obtenu vérifie $a\equiv r\;[9]$ avec $0\leqslant r\leqslant 8$. Si ce reste dépasse $4$, on lui retranche $9$ pour revenir dans l'intervalle demandé — ce qui est licite puisque $r$ et $r-9$ diffèrent d'un multiple de $9$.

1. $11=9\times 1+2$, donc $11\equiv 2\;[9]$ : $\boxed{x=2}$

2. $24=9\times 2+6$, donc $24\equiv 6\;[9]$. Comme $6>4$, on écrit $6\equiv 6-9=-3\;[9]$ : $\boxed{x=-3}$

3. $62=9\times 6+8$, donc $62\equiv 8\equiv 8-9=-1\;[9]$ : $\boxed{x=-1}$

4. $85=9\times 9+4$, donc $85\equiv 4\;[9]$ : $\boxed{x=4}$

5. $-12=9\times(-2)+6$, donc $-12\equiv 6\equiv -3\;[9]$ : $\boxed{x=-3}$

Attention aux nombres négatifs : le reste d'une division euclidienne est toujours positif. On n'écrit pas $-12=9\times(-1)-3$ pour en déduire un reste de $-3$ ; on descend jusqu'au multiple de $9$ immédiatement inférieur, ici $-18$.

6. $32=9\times 3+5$, donc $32\equiv 5\equiv 5-9=-4\;[9]$ : $\boxed{x=-4}$