Exercice 4

1. On cherche à chaque fois une puissance de $2$ congrue à $1$.

• Modulo $3$ : $2\equiv -1$, donc $2^{100}\equiv(-1)^{100}=1\;[3]$. Le reste est $\boxed{1}$.

• Modulo $5$ : $2^{4}=16\equiv 1$, donc $2^{100}=\left(2^{4}\right)^{25}\equiv 1\;[5]$. Le reste est $\boxed{1}$.

• Modulo $7$ : $2^{3}=8\equiv 1$ et $100=3\times 33+1$, donc $2^{100}=\left(2^{3}\right)^{33}\times 2\equiv 2\;[7]$. Le reste est $\boxed{2}$.

• Modulo $9$ : $2^{6}=64=63+1\equiv 1$ et $100=6\times 16+4$, donc $2^{100}\equiv 2^{4}=16\equiv 7\;[9]$. Le reste est $\boxed{7}$.

2. On a $2026=7\times 289+3$, donc $2026\equiv 3\;[7]$. Les puissances de $3$ modulo $7$ sont $3$, $2$, $6$, $4$, $5$, $1$ : ainsi $3^{6}\equiv 1\;[7]$. Comme $2026=6\times 337+4$ : $$2026^{2026}\equiv 3^{2026}=\left(3^{6}\right)^{337}\times 3^{4}\equiv 81\equiv 4\;[7].$$ Le reste est $\boxed{4}$. De même, $17\equiv 2\;[5]$ et $2026=4\times 506+2$, donc $17^{2026}\equiv 2^{2026}\equiv 2^{2}=4\;[5]$ : le reste est $\boxed{4}$.