Exercice 5

1. Calculons d'abord les puissances de $5$ modulo $13$ : $$5^{2}=25=13+12\equiv 12\equiv -1\;[13]$$

$$5^{4}=\left(5^{2}\right)^{2}\equiv(-1)^{2}=1\;[13]$$ Par compatibilité avec les puissances, pour tout $k\in\mathbb{N}$ : $$5^{4k}=\left(5^{4}\right)^{k}\equiv 1^{k}=1\;[13]$$ donc $5^{4k}-1\equiv 1-1=0\;[13]$ : $$\boxed{\text{pour tout } k\in\mathbb{N},\ 13 \text{ divise } 5^{4k}-1.}$$

2. On traite séparément les deux termes modulo $11$ : $$5^{2n}=\left(5^{2}\right)^{n}=25^{n} \qquad\text{et}\qquad 25=11\times 2+3 \ \text{ donc }\ 25\equiv 3\;[11]$$

$$14=11+3 \qquad\text{donc}\qquad 14\equiv 3\;[11]$$ Ainsi $5^{2n}\equiv 3^{n}\;[11]$ et $14^{n}\equiv 3^{n}\;[11]$, d'où par différence : $$5^{2n}-14^{n}\equiv 3^{n}-3^{n}=0\;[11]$$

$$\boxed{\text{pour tout } n\in\mathbb{N},\ 11 \text{ divise } 5^{2n}-14^{n}.}$$ L'idée à retenir : on ne cherche pas à calculer, on cherche à faire apparaître la même classe pour les deux termes.