Exercice 6

1. On a $3^{2n+1}=3\times 9^{n}$ et $9\equiv 2\;[7]$, donc $3^{2n+1}\equiv 3\times 2^{n}\;[7]$. D'autre part $2^{n+2}=4\times 2^{n}$. Ainsi : $$3^{2n+1}+2^{n+2}\equiv 3\times 2^{n}+4\times 2^{n}=7\times 2^{n}\equiv 0\;[7].$$ Donc $\boxed{7 \text{ divise } 3^{2n+1}+2^{n+2}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

2. On note $\mathcal{P}_{n}$ : « $9$ divise $4^{n}+15n-1$ ».

Initialisation : Pour $n=0$, $4^{0}+0-1=0$, divisible par $9$.

Hérédité : Si $4^{k}+15k-1=9m$, alors : $$4^{k+1}+15(k+1)-1=4\left(4^{k}+15k-1\right)-45k+18=9(4m-5k+2).$$

Conclusion : Par récurrence, $\boxed{9 \text{ divise } 4^{n}+15n-1}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

3. Les puissances de $4$ modulo $9$ valent $4$, $7$, $1$ : $4^{3}\equiv 1\;[9]$. Si $n=3q+r$, alors $4^{n}\equiv 4^{r}$ et $15n=45q+15r\equiv 6r\;[9]$. On examine les trois cas :

• $r=0$ : $4^{n}+15n-1\equiv 1+0-1=0\;[9]$ ;

• $r=1$ : $4^{n}+15n-1\equiv 4+6-1=9\equiv 0\;[9]$ ;

• $r=2$ : $4^{n}+15n-1\equiv 16+12-1=27\equiv 0\;[9]$.

On retrouve le résultat. La récurrence est plus directe lorsque l'expression mêle puissances et termes polynomiaux, mais les congruences permettent de traiter un nombre fini de cas.