Exercice 7

Le chiffre des unités d'un entier est son reste dans la division par $10$ : tout le problème revient donc à travailler modulo $10$.

a) Puissances de $3$ modulo $10$ : $$3^{1}\equiv 3,\quad 3^{2}=9,\quad 3^{3}=27\equiv 7,\quad 3^{4}=81\equiv 1\;[10]$$ Les restes se répètent donc par cycle de longueur $4$. Comme $2025=4\times 506+1$ : $$3^{2025}=\left(3^{4}\right)^{506}\times 3^{1}\equiv 1^{506}\times 3=3\;[10]$$

b) Puissances de $7$ modulo $10$ : $$7^{1}\equiv 7,\quad 7^{2}=49\equiv 9,\quad 7^{3}\equiv 63\equiv 3,\quad 7^{4}\equiv 21\equiv 1 \;[10]$$ Même cycle de longueur $4$, et $2025\equiv 1\;[4]$ : $$7^{2025}\equiv 7^{1}=7\;[10] \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{\text{le chiffre des unités est } 7.}$$

c) $13\equiv 3\;[10]$, donc $13^{2025}\equiv 3^{2025}\;[10]$, et l'on retrouve la question a) : $$\boxed{\text{le chiffre des unités de } 13^{2025} \text{ est } 3.}$$

La tour de puissances. On cherche le chiffre des unités de $$N=7^{7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}}$$ Attention : une tour de puissances se lit de haut en bas. Le nombre $N$ s'écrit $7^{M}$, où $M=7^{7^{7^{7^{7^{7}}}}}$ est lui-même une tour à six étages.

D'après la question b), le chiffre des unités de $7^{M}$ ne dépend que du reste de $M$ modulo $4$. Il suffit donc de connaître $M$ modulo $4$ — et non $M$ lui-même, ce qui serait hors de portée.

Or $7\equiv 3\equiv -1\;[4]$, donc pour tout exposant entier $e$ : $$7^{e}\equiv (-1)^{e}\;[4]$$ Comme $M$ est une puissance de $7$, c'est un nombre impair, donc $$M\equiv (-1)^{\text{impair}}=-1\equiv 3\;[4]$$ En reportant dans le cycle des puissances de $7$ modulo $10$ : $$N=7^{M}\equiv 7^{3}\equiv 3\;[10]$$

Ce qu'il faut retenir : pour une tour de puissances, on travaille modulo $10$ à l'étage du bas, ce qui impose de connaître l'étage suivant modulo $4$ — la longueur du cycle. C'est ce mécanisme « en cascade » qui rend le calcul possible.