Exercice 8 Critères de divisibilité

1. Comme $10\equiv 1\;[9]$, on a $10^{i}\equiv 1\;[9]$ pour tout $i$ (Proposition 1), donc $N\equiv a_{k}+\dots+a_{1}+a_{0}\;[9]$ : $N$ est divisible par $9$ si et seulement si la somme de ses chiffres l'est. De même, $10\equiv -1\;[11]$ donne $10^{i}\equiv(-1)^{i}\;[11]$, donc $N\equiv a_{0}-a_{1}+a_{2}-\dots\;[11]$. On retrouve les critères de l'exercice 28 du chapitre 1, sans récurrence : les congruences « absorbent » le calcul de $10^{i}-1$.

2. On écrit $N=100M+(10a_{1}+a_{0})$, où $M$ est un entier. Comme $100=4\times 25\equiv 0\;[4]$, on a $N\equiv 10a_{1}+a_{0}\;[4]$, d'où le critère.

3. On a $7\times 11\times 13=77\times 13=1001$. Donc $1000=1001-1\equiv -1\;[7]$, et de même modulo $11$ et modulo $13$. En découpant $N$ en tranches de trois chiffres à partir de la droite, $N=t_{0}+t_{1}\times 1000+t_{2}\times 1000^{2}+\cdots$, on obtient : $$\boxed{N\equiv t_{0}-t_{1}+t_{2}-t_{3}+\cdots\;[7]}$$ Pour $N=3\,214\,987\,608$ : $t_{0}=608$, $t_{1}=987$, $t_{2}=214$, $t_{3}=3$, et $608-987+214-3=-168=7\times(-24)$. Donc $\boxed{N \text{ est divisible par } 7}$ ; en effet $N=7\times 459\,283\,944$. Le même calcul donne $-168\equiv 1\;[13]$ : $N$ n'est pas divisible par $13$.