Exercice 9

1. Supposons qu'il existe des entiers $x$ et $y$ tels que $11x^{2}-7y^{2}=5$. Réduisons chaque coefficient modulo $5$ : $$11=5\times 2+1\equiv 1 \qquad -7\equiv -7+10=3\equiv -2 \qquad 5\equiv 0 \;[5]$$ L'égalité $11x^{2}-7y^{2}=5$ donne donc, modulo $5$ : $$x^{2}-2y^{2}\equiv 0\;[5] \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \boxed{x^{2}\equiv 2y^{2}\;[5]}$$

2. Tout entier est congru à $0$, $1$, $2$, $3$ ou $4$ modulo $5$ : il suffit donc de tester ces cinq valeurs.

Détail d'une case : pour $x\equiv 3$, on a $x^{2}\equiv 9\equiv 4\;[5]$ ; pour $y\equiv 2$, $2y^{2}\equiv 2\times 4=8\equiv 3\;[5]$.

3. D'après le premier tableau, $x^{2}$ ne peut être congru qu'à $0$, $1$ ou $4$ ; d'après le second, $2y^{2}$ ne peut l'être qu'à $0$, $2$ ou $3$. Pour que l'égalité $x^{2}\equiv 2y^{2}\;[5]$ soit possible, il faut une valeur commune aux deux listes : $$\{0\,;1\,;4\}\cap\{0\,;2\,;3\}=\{0\}$$ La seule possibilité est donc $x^{2}\equiv 0$ et $2y^{2}\equiv 0\;[5]$. En relisant les tableaux, cela impose $x\equiv 0\;[5]$ et $y\equiv 0\;[5]$ : $$\boxed{x \text{ et } y \text{ sont des multiples de } 5.}$$

4. Écrivons $x=5x'$ et $y=5y'$ avec $x'$ et $y'$ entiers. En reportant : $$11\times 25x'^{2}-7\times 25y'^{2}=5 \iff 25\left(11x'^{2}-7y'^{2}\right)=5$$ Le membre de gauche est un multiple de $25$, le membre de droite vaut $5$. Or $25$ ne divise pas $5$ : c'est absurde. $$\boxed{\text{L'équation } 11x^{2}-7y^{2}=5 \text{ n'admet aucune solution entière.}}$$