Exercice 10

1. Tout entier est congru à l'un des huit entiers $0,1,\dots,7$ modulo $8$ :

Détail : pour $n\equiv 3$, $n^{2}\equiv 9\equiv 1$ ; pour $n\equiv 5$, $n^{2}\equiv 25\equiv 1$ ; pour $n\equiv 6$, $n^{2}\equiv 36\equiv 4\;[8]$.

On remarque que le carré d'un entier ne peut être congru qu'à $0$, $1$ ou $4$ modulo $8$ : c'est une information très utile, dont on se sert souvent pour montrer qu'une équation n'a pas de solution.

2. L'équation s'écrit $(x+3)^{2}\equiv 1\;[8]$. Posons $m=x+3$ : d'après le tableau, $m^{2}\equiv 1\;[8]$ si et seulement si $$m\equiv 1,\ 3,\ 5 \text{ ou } 7\;[8]$$ c'est-à-dire si et seulement si $m$ est impair. Or $m=x+3$ est impair si et seulement si $x$ est pair. $$\boxed{S=\{x\in\mathbb{Z} \mid x \text{ est pair}\}=\{2k,\ k\in\mathbb{Z}\}}$$ Vérification : pour $x=4$, $(4+3)^{2}-1=48=8\times 6$. Pour $x=1$, $(1+3)^{2}-1=15$, qui n'est pas divisible par $8$.

3. On dresse le tableau des valeurs de $4x$ modulo $9$ :

La valeur $5$ n'apparaît qu'une fois, pour $x\equiv 8\;[9]$ : $$\boxed{S=\{8+9k,\ k\in\mathbb{Z}\}}$$ Vérification : $4\times 8=32=9\times 3+5$.

On remarque que chacun des neuf restes apparaît exactement une fois dans la seconde ligne : c'est parce que $4$ et $9$ n'ont aucun diviseur commun autre que $1$, ce que l'étude du PGCD permettra d'expliquer. Si l'on avait résolu $3x\equiv 5\;[9]$, la seconde ligne n'aurait contenu que $0$, $3$ et $6$, et l'équation n'aurait eu aucune solution.