Exercice 11

On remarquera d'emblée que $n=x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$, ce qui éclairera les résultats.

1. $n$ est divisible par $7$ si et seulement si $n\equiv 0\;[7]$. On teste les sept classes possibles pour $x$ :

Détail de deux cases : pour $x\equiv 3$, $9+3-2=10\equiv 3$ ; pour $x\equiv 5$, $25+5-2=28=7\times 4\equiv 0\;[7]$.

La ligne s'annule pour $x\equiv 1$ et $x\equiv 5\;[7]$. En remarquant que $5\equiv -2\;[7]$ : $$\boxed{E_{7}=\{x\in\mathbb{Z} \mid x\equiv 1\;[7] \text{ ou } x\equiv -2\;[7]\}}$$ Ce résultat était prévisible : $n=(x+2)(x-1)$, et $7$ étant premier, il divise ce produit si et seulement s'il divise $x+2$ ou $x-1$.

2. Même travail modulo $3$ :

$$\boxed{E_{3}=\{x\in\mathbb{Z} \mid x\equiv 1\;[3]\}}$$ On remarque que les deux conditions $x\equiv 1$ et $x\equiv -2$ se confondent modulo $3$, puisque $-2\equiv 1\;[3]$ : c'est pourquoi une seule classe apparaît ici.

3. Supposons $x=1+21k$ ou $x=-2+21k$, avec $k\in\mathbb{Z}$. Comme $21=3\times 7$, on a dans les deux cas : $$x\equiv 1 \text{ ou } -2 \;[7] \qquad\text{et}\qquad x\equiv 1 \text{ ou } -2\equiv 1 \;[3]$$ D'après les questions 1 et 2, $n$ est donc divisible par $7$ et par $3$.

Il reste à traiter le facteur $2$, que l'énoncé ne demande pas explicitement mais qui est indispensable, puisque $42=2\times 3\times 7$. Or : $$n=x^{2}+x-2=x(x+1)-2$$ et $x(x+1)$ est le produit de deux entiers consécutifs, donc toujours pair. Ainsi $n$ est pair.

Les entiers $2$, $3$ et $7$ sont trois nombres premiers distincts qui divisent $n$. On écrit $n=7m$ ; comme $3$ divise $7m$ sans diviser $7$, le lemme d'Euclide montre que $3$ divise $m$, donc $21$ divise $n$ ; on recommence avec $2$, qui divise $n=21m'$ sans diviser $21$. Ainsi le produit $2\times 3\times 7$ divise $n$. $$\boxed{n \text{ est divisible par } 2\times 3\times 7=42.}$$ Vérification : pour $k=1$ et $x=22$, $n=484+22-2=504=42\times 12$.

Point de vigilance. On ne peut conclure « divisible par $3$ et par $7$ donc par $21$ » que parce que $3$ et $7$ sont deux nombres premiers distincts (lemme d'Euclide). Un nombre divisible par $4$ et par $6$ n'est pas nécessairement divisible par $24$ : par exemple $12$.