Exercice 12

1. $100=7\times 14+2$, donc $\boxed{100\equiv 2\;[7]}$.

Soit $(x\,;y)$ une solution de $(E)$. Comme $10^{2n}=\left(10^{2}\right)^{n}=100^{n}$, la compatibilité avec les puissances donne : $$10^{2n}=100^{n}\equiv 2^{n}\;[7]$$ Par ailleurs $7y^{2}\equiv 0\;[7]$, puisque $7y^{2}$ est un multiple de $7$. L'égalité $3x^{2}+7y^{2}=10^{2n}$ devient donc, modulo $7$ : $$3x^{2}+0\equiv 2^{n}\;[7] \qquad\text{soit}\qquad \boxed{3x^{2}\equiv 2^{n}\;[7]}$$

2. On teste les sept classes possibles pour $x$ :

Détail : pour $x\equiv 2$, $3x^{2}=12\equiv 5$ ; pour $x\equiv 3$, $3\times 9=27\equiv 6 \;[7]$.

Les seules valeurs possibles de $3x^{2}$ modulo $7$ sont donc $$\boxed{0,\quad 3,\quad 5 \quad\text{et}\quad 6}$$

3. Calculons les puissances de $2$ modulo $7$ : $$2^{0}=1,\qquad 2^{1}=2,\qquad 2^{2}=4,\qquad 2^{3}=8\equiv 1\;[7]$$ Comme $2^{3}\equiv 1$, les restes se répètent par cycle de longueur $3$. En écrivant la division euclidienne de $n$ par $3$ sous la forme $n=3q+r$ avec $r\in\{0\,;1\,;2\}$ : $$2^{n}=\left(2^{3}\right)^{q}\times 2^{r}\equiv 1^{q}\times 2^{r}=2^{r}\;[7]$$

Conclusion. Si $(E)$ admettait une solution, on aurait $3x^{2}\equiv 2^{n}\;[7]$. Or : $$\underbrace{\{0\,;3\,;5\,;6\}}_{\text{valeurs de } 3x^{2}}\ \cap\ \underbrace{\{1\,;2\,;4\}}_{\text{valeurs de } 2^{n}}=\varnothing$$ Les deux membres ne peuvent jamais être congrus modulo $7$ : c'est une contradiction. $$\boxed{\text{L'équation } (E) \text{ n'admet aucune solution entière, quel que soit } n.}$$

C'est la démarche type de ce chapitre : pour prouver qu'une équation n'a pas de solution, on cherche un modulo bien choisi pour lequel les deux membres ne peuvent jamais coïncider.