Exercice 13

Dans chaque cas, on dresse le tableau des valeurs pour tous les restes possibles de $x$.

a) Modulo $7$, $3x$ prend pour $x=0,1,\dots,6$ les valeurs $0$, $3$, $6$, $2$, $5$, $1$, $4$. La valeur $4$ est atteinte pour $x\equiv 6$ seulement : $\boxed{S=\{6+7k,\ k\in\mathbb{Z}\}}$.

b) Modulo $12$, $5x$ prend pour $x=0,\dots,11$ les valeurs $0$, $5$, $10$, $3$, $8$, $1$, $6$, $11$, $4$, $9$, $2$, $7$. La valeur $2$ est atteinte pour $x\equiv 10$ : $\boxed{S=\{10+12k,\ k\in\mathbb{Z}\}}$. Vérification : $5\times 10=50=48+2$.

c) Modulo $9$, $6x$ prend les valeurs $0$, $6$, $3$, $0$, $6$, $3$, $0$, $6$, $3$. La valeur $3$ est atteinte pour $x\equiv 2$, $5$ ou $8\;[9]$, c'est-à-dire $\boxed{S=\{2+3k,\ k\in\mathbb{Z}\}}$.

d) Modulo $10$, $4x$ ne prend que les valeurs paires $0$, $4$, $8$, $2$, $6$ : la valeur $3$ n'est jamais atteinte, et $\boxed{S=\varnothing}$. En effet, $4x-3$ est impair et ne peut être un multiple de $10$.

e) Modulo $7$, $x^{2}$ prend les valeurs $0$, $1$, $4$, $2$, $2$, $4$, $1$. Donc $\boxed{S=\{x\in\mathbb{Z} \mid x\equiv 3 \text{ ou } x\equiv 4\;[7]\}}$.

f) Modulo $6$, $x^{2}+x$ prend les valeurs $0$, $2$, $0$, $0$, $2$, $0$. Donc $\boxed{S=\{x\in\mathbb{Z} \mid x\equiv 0,\ 2,\ 3 \text{ ou } 5\;[6]\}}$.

Les cas b) et c) montrent qu'une équation $ax\equiv b\;[n]$ peut avoir une seule classe de solutions, plusieurs, ou aucune (cas d) : tout dépend des diviseurs communs à $a$ et $n$, ce qu'éclairera l'étude du PGCD.