Exercice 14 Le problème de Sunzi

1. On cherche les entiers $x$ tels que $x\equiv 2\;[3]$, $x\equiv 3\;[5]$ et $x\equiv 2\;[7]$.

2. Dans $\llbracket 0;14\rrbracket$, les entiers congrus à $3$ modulo $5$ sont $3$, $8$ et $13$, de restes respectifs $0$, $2$ et $1$ modulo $3$ : seul $\boxed{8}$ convient.

Si $x\equiv 8\;[15]$, alors $x-8$ est un multiple de $15$, donc de $3$ et de $5$, et $x\equiv 8\equiv 2\;[3]$, $x\equiv 8\equiv 3\;[5]$. Réciproquement, si $x$ vérifie les deux congruences, alors $x\equiv 8\;[3]$ et $x\equiv 8\;[5]$ : on écrit $x-8=3m$ ; comme $5$ divise $3m$ et ne divise pas $3$, le lemme d'Euclide montre que $5$ divise $m$, donc $15$ divise $x-8$. Ainsi $\boxed{x\equiv 2\;[3] \text{ et } x\equiv 3\;[5] \iff x\equiv 8\;[15]}$.

3. On écrit $x=8+15k$ avec $k\in\mathbb{Z}$. Comme $15\equiv 1\;[7]$, on a $x\equiv 8+k\equiv 1+k\;[7]$, et la condition $x\equiv 2\;[7]$ équivaut à $k\equiv 1\;[7]$, c'est-à-dire $k=1+7j$ avec $j\in\mathbb{Z}$. Alors $x=8+15+105j=23+105j$ : $$\boxed{x\equiv 23\;[105]}$$ Vérification : $23=3\times 7+2=5\times 4+3=7\times 3+2$.

4. Les solutions positives sont $23$, $128$, $233$, … : il y a $\boxed{128}$ objets.

La réponse donnée par le Sunzi Suanjing est bien $23$, la plus petite solution positive. La méthode employée ici, qui consiste à résoudre les congruences deux par deux, est le principe du théorème des restes chinois.