Exercice 15

1. $3^{6}=729=7\times 104+1$, donc $3^{6}\equiv 1\;[7]$, d'où pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$3^{6n}=\left(3^{6}\right)^{n}\equiv 1^{n}=1\;[7] \qquad\Longrightarrow\qquad 3^{6n}-1\equiv 0\;[7]$$

$$\boxed{\text{pour tout } n\in\mathbb{N},\ 7 \text{ divise } 3^{6n}-1.}$$ Autre lecture : $7$ étant premier et ne divisant pas $3$, le petit théorème de Fermat donne directement $3^{7-1}=3^{6}\equiv 1\;[7]$.

2. Factorisons l'expression : $$3^{\,n+p}-3^{\,n+1}=3^{\,n+1}\left(3^{\,p-1}-1\right)$$ en mettant en facteur la plus petite puissance, $3^{\,n+1}$ — on vérifie que $3^{\,n+1}\times 3^{\,p-1}=3^{\,n+p}$.

Le nombre $p$ étant premier et différent de $3$, il ne divise pas $3$. Le petit théorème de Fermat s'applique donc : $$3^{\,p-1}\equiv 1\;[p] \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad p \text{ divise } 3^{\,p-1}-1$$ Par conséquent $p$ divise le produit $3^{\,n+1}\left(3^{\,p-1}-1\right)$ : $$\boxed{\text{pour tout } n\in\mathbb{N},\ p \text{ divise } 3^{\,n+p}-3^{\,n+1}.}$$ L'hypothèse $p\neq 3$ est indispensable : pour $p=3$, on aurait $3^{\,n+3}-3^{\,n+1}=3^{\,n+1}\times 8$, qui n'est divisible par $3$ que grâce au facteur $3^{\,n+1}$ — le théorème de Fermat, lui, ne s'appliquerait pas.