Exercice 16

1. $29$ est un nombre premier, et $29$ ne divise pas $4$. Le petit théorème de Fermat donne donc : $$4^{29-1}=4^{28}\equiv 1\;[29] \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{29 \text{ divise } 4^{28}-1.}$$

2. $4=3+1$, donc $4\equiv 1\;[3]$, d'où pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $$4^{n}\equiv 1^{n}=1\;[3] \qquad\Longrightarrow\qquad \boxed{3 \text{ divise } 4^{n}-1.}$$

3. Divisibilité par $5$ : $4^{2}=16=3\times 5+1$, donc $4^{2}\equiv 1\;[5]$, d'où $$4^{4k}=\left(4^{2}\right)^{2k}\equiv 1^{2k}=1\;[5]$$

Divisibilité par $17$ : $4^{4}=256=15\times 17+1$, donc $4^{4}\equiv 1\;[17]$, d'où $$4^{4k}=\left(4^{4}\right)^{k}\equiv 1^{k}=1\;[17]$$

4. Comme $28=4\times 7$, la question 3 s'applique avec $k=7$ : $4^{28}-1$ est divisible par $5$ et par $17$. Il l'est aussi par $3$ (question 2 avec $n=28$) et par $29$ (question 1). $$\boxed{3,\quad 5,\quad 17 \quad\text{et}\quad 29 \text{ sont quatre diviseurs premiers de } 4^{28}-1.}$$ Remarque. Ces quatre nombres premiers étant distincts, leur produit (lemme d'Euclide appliqué de proche en proche) $3\times 5\times 17\times 29=7\,395$ divise également $4^{28}-1$. La factorisation complète de ce nombre, qui vaut $72\,057\,594\,037\,927\,935$, comporte d'ailleurs d'autres facteurs premiers, comme $43$, $113$ et $127$.