Exercice 17

1. $13$ est premier et ne divise pas $3$, donc $3^{12}\equiv 1\;[13]$. Comme $100=12\times 8+4$ : $$3^{100}=\left(3^{12}\right)^{8}\times 3^{4}\equiv 81=6\times 13+3\equiv 3\;[13].$$ Le reste est $\boxed{3}$.

2. $17$ est premier et ne divise pas $2$, donc $2^{16}\equiv 1\;[17]$. Comme $2026=16\times 126+10$, $2^{2026}\equiv 2^{10}=1024=17\times 60+4\;[17]$. Le reste est $\boxed{4}$.

3. On a $2^{12}\equiv 1\;[13]$, donc $2^{70}=2^{60}\times 2^{10}\equiv 2^{10}=1024=13\times 78+10\equiv 10\;[13]$. Pour $3$, il est plus rapide de remarquer que $3^{3}=27\equiv 1\;[13]$, donc $3^{70}=\left(3^{3}\right)^{23}\times 3\equiv 3\;[13]$. Ainsi $2^{70}+3^{70}\equiv 10+3=13\equiv 0\;[13]$ : $\boxed{13 \text{ divise } 2^{70}+3^{70}}$.

Le petit théorème de Fermat fournit un exposant qui convient toujours, $p-1$, mais pas forcément le plus petit, comme le montre le cas de $3$ modulo $13$.